∂ Cálculo Diferencial

Regla de L'Hôpital: Resolver Límites Indeterminados con Ejercicios Resueltos

Aprende a aplicar la Regla de L'Hôpital para resolver límites de formas indeterminadas 0/0, ∞/∞, 0·∞, 1^∞, 0⁰ y ∞⁰. Procedimiento completo con ejercicios universitarios resueltos paso a paso.

⏱ 18 min 📊 Cálculo I 📐 Ejercicios resueltos 🎓 Universitario

📚 Contenido

1. ¿Qué es la Regla de L'Hôpital?
2. Formas indeterminadas: cuándo aplicarla
3. Forma 0/0 — casos directos
4. Forma ∞/∞
5. Formas 0·∞ y ∞−∞
6. Formas exponenciales: 1^∞, 0⁰, ∞⁰
7. Cuándo NO usar L'Hôpital
8. Ejercicios resueltos completos

1¿Qué es la Regla de L'Hôpital?

La Regla de L'Hôpital (o Bernoulli) permite calcular ciertos límites que resultan en formas indeterminadas, derivando por separado el numerador y el denominador.

Regla de L'Hôpital

Si lim f(x)/g(x) da 0/0 o ±∞/±∞, entonces:

lim [f(x)/g(x)] = lim [f'(x)/g'(x)]

Se puede aplicar repetidamente mientras siga siendo 0/0 o ∞/∞. Derivar arriba y abajo por separado, NO el cociente.

⚠️ Error frecuente

L'Hôpital deriva por separado f'(x) y g'(x). No es aplicar la regla del cociente. Solo es válido cuando el límite es 0/0 o ∞/∞.

2Formas indeterminadas: cuándo aplicarla

Forma indeterminada	Estrategia
0/0	Aplicar L'Hôpital directamente
∞/∞	Aplicar L'Hôpital directamente
0 · ∞	Reescribir como 0/(1/∞) o ∞/(1/0) → forma 0/0 o ∞/∞
∞ − ∞	Combinar en una fracción → forma 0/0
1^∞, 0⁰, ∞⁰	Aplicar ln y reescribir → forma 0·∞ → 0/0

3Forma 0/0 — casos directos

Ejemplo 1

Una aplicación

lim (x→0) sen(x) / x

Solución

// Verificar forma: sen(0)/0 = 0/0  ✓ → aplicar L'Hôpital
lim sen(x)/x = lim [d/dx sen(x)] / [d/dx x]
             = lim cos(x) / 1
             = cos(0) / 1 = 1

lim(x→0) sen(x)/x = 1

Ejemplo 2 — L'Hôpital aplicado dos veces

lim (x→0) (eˣ - 1 - x) / x²

Dos aplicaciones

// 1ª vez: (e⁰-1-0)/0 = 0/0  ✓
lim (eˣ-1-x)/x² = lim (eˣ-1)/(2x)

// Sigue siendo 0/0 → aplicar de nuevo
= lim eˣ / 2
= e⁰ / 2 = 1/2

lim(x→0) (eˣ-1-x)/x² = 1/2

Ejemplo 3 — Límite en punto finito

lim (x→1) (x³ - 1) / (x² - 1)

Solución

// (1-1)/(1-1) = 0/0  ✓
lim (x³-1)/(x²-1) = lim 3x² / 2x
                  = lim 3x/2
                  = 3(1)/2 = 3/2

// Verificación por factorización:
// (x³-1)/(x²-1) = (x-1)(x²+x+1)/[(x-1)(x+1)] = (x²+x+1)/(x+1)
// → en x=1: (1+1+1)/(1+1) = 3/2 ✓

lim(x→1) (x³-1)/(x²-1) = 3/2

4Forma ∞/∞

Ejemplo 4

lim (x→+∞) ln(x) / x

Forma ∞/∞

// ln(∞)/∞ = ∞/∞  ✓
lim ln(x)/x = lim (1/x) / 1
            = lim 1/x
            = 0

// Conclusión: x crece más rápido que ln(x)

lim(x→∞) ln(x)/x = 0 (el logaritmo crece mucho más lento que x)

Ejemplo 5 — Jerarquía de crecimientos

lim (x→+∞) x² / eˣ

Dos aplicaciones

lim x²/eˣ = lim 2x/eˣ   (sigue ∞/∞)
          = lim 2/eˣ
          = 2/∞ = 0

// La exponencial crece infinitamente más rápido que cualquier polinomio

lim(x→∞) xⁿ/eˣ = 0 para cualquier n fijo

5Formas 0·∞ y ∞−∞

Ejemplo 6 — Forma 0·∞

lim (x→0⁺) x · ln(x)

Reescribir como 0/0

// 0·(-∞) → reescribir: x·ln(x) = ln(x)/(1/x)
lim x·ln(x) = lim ln(x) / (1/x)   (forma -∞/+∞)
            = lim (1/x) / (-1/x²)
            = lim (-x)
            = 0

lim(x→0⁺) x·ln(x) = 0

Ejemplo 7 — Forma ∞−∞

lim (x→0) [1/sen(x) - 1/x]

Combinar en fracción única

// ∞-∞ → combinar bajo común denominador
1/sen(x) - 1/x = [x - sen(x)] / [x·sen(x)]

// Forma 0/0 → L'Hôpital
lim [x-sen(x)] / [x·sen(x)] = lim [1-cos(x)] / [sen(x)+x·cos(x)]
// Sigue 0/0 → de nuevo
= lim sen(x) / [cos(x)+cos(x)-x·sen(x)]
= lim sen(x) / [2cos(x)-x·sen(x)]
= 0 / (2-0) = 0

lim(x→0) [1/sen(x) - 1/x] = 0

6Formas exponenciales: 1^∞, 0⁰, ∞⁰

💡 Estrategia para formas exponenciales

Si lim f(x)^g(x) da forma 1^∞, 0⁰ o ∞⁰:

Sea L = lim f(x)^g(x) → ln(L) = lim g(x)·ln(f(x)) → forma 0·∞ → resolver → e^(resultado)

Ejemplo 8 — Forma 1^∞ (límite fundamental)

lim (x→∞) (1 + 1/x)^x = e

Derivación completa

// Sea L = lim (1+1/x)^x → ln(L) = lim x·ln(1+1/x)
// Forma 0·∞ → reescribir
lim x·ln(1+1/x) = lim ln(1+1/x) / (1/x)   (0/0)

// Derivar numerador: d/dx ln(1+1/x) = -1/x² · 1/(1+1/x)
// Derivar denominador: d/dx (1/x) = -1/x²

= lim [-1/(x²(1+1/x))] / [-1/x²]
= lim 1/(1+1/x)
= 1/(1+0) = 1

// ln(L) = 1  →  L = e¹ = e

lim(x→∞) (1+1/x)^x = e ← definición del número de Euler

Ejemplo 9 — Forma 0⁰

lim (x→0⁺) xˣ

Con logaritmo

// ln(L) = lim x·ln(x) = 0 (demostrado en Ejemplo 6)
// ln(L) = 0  →  L = e⁰ = 1

lim(x→0⁺) xˣ = 1

7Cuándo NO usar L'Hôpital

⚠️ Situaciones donde NO aplica

El límite NO es 0/0 ni ∞/∞: lim (x→2) (x²-4)/(x-2) → factorizar, no L'Hôpital

Ciclos infinitos: lim(x→∞) (x+sen(x))/x → dividir por x es más simple

El límite del cociente de derivadas no existe: si lim f'/g' no existe, no concluye nada sobre lim f/g

8🏋 Ejercicios resueltos completos

Ejercicio 1

lim (x→0) (tan(x) - x) / x³

Tres aplicaciones de L'Hôpital

// 0/0 → aplicar
lim (tan x - x)/x³ = lim (sec²x - 1)/(3x²)
                   = lim (tan²x)/(3x²)   [sec²-1=tan²]

// 0/0 → aplicar de nuevo
= lim 2tan(x)·sec²(x) / (6x)

// 0/0 → aplicar una vez más
= lim [2sec⁴x + 4tan²x·sec²x] / 6
= [2(1)⁴ + 4(0)(1)] / 6 = 2/6 = 1/3

lim(x→0) (tan x - x)/x³ = 1/3

Ejercicio 2 — Forma 1^∞

lim (x→0) (1 + 3x)^(1/x)

Con logaritmo natural

// ln(L) = lim (1/x)·ln(1+3x) = lim ln(1+3x)/x  → 0/0
= lim [3/(1+3x)] / 1
= 3/(1+0) = 3

L = e³ ≈ 20.09

lim(x→0) (1+3x)^(1/x) = e³

Ejercicio 3 — Forma ∞/∞ con logaritmo

lim (x→∞) x^(1/x)

Forma ∞⁰

// ln(L) = lim (1/x)·ln(x) = lim ln(x)/x = 0  (demostrado antes)
L = e⁰ = 1

// Interpretación: aunque x crece sin límite,
// x^(1/x) converge a 1.

lim(x→∞) x^(1/x) = 1

𝐿 ¿Dominaste la Regla de L'Hôpital?

Es una de las herramientas más elegantes del cálculo diferencial. ¡Practica y deja tus dudas en comentarios!

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