∂ Cálculo Diferencial
Derivadas en Cálculo: Reglas de Derivación y Ejercicios Resueltos Paso a Paso
Domina las reglas de derivación: potencia, producto, cociente, cadena y derivadas trigonométricas. Teoría clara con ejercicios resueltos paso a paso en español.
1¿Qué es una derivada?
La derivada mide la tasa de cambio instantánea de una función. Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado.
Definición formal de derivada
f'(x) = lim [f(x+h) - f(x)] / h
h → 0
h → 0
También se escribe: df/dx, Df(x) o y'
💡 Interpretaciones de la derivada
Geométrica: pendiente de la tangente a la curva en x
Física: velocidad instantánea (si f es posición)
Económica: costo marginal, ingreso marginal
General: tasa de cambio instantánea de cualquier magnitud
Física: velocidad instantánea (si f es posición)
Económica: costo marginal, ingreso marginal
General: tasa de cambio instantánea de cualquier magnitud
2Tabla de derivadas fundamentales
| f(x) | f'(x) | Ejemplo |
|---|---|---|
| c (constante) | 0 | d/dx[7] = 0 |
| x^n | n · x^(n-1) | d/dx[x^5] = 5x^4 |
| e^x | e^x | d/dx[e^x] = e^x |
| a^x | a^x · ln(a) | d/dx[2^x] = 2^x·ln(2) |
| ln(x) | 1/x | d/dx[ln(x)] = 1/x |
| log_a(x) | 1/(x·ln(a)) | d/dx[log_2(x)] = 1/(x·ln2) |
| sen(x) | cos(x) | d/dx[sen(x)] = cos(x) |
| cos(x) | -sen(x) | d/dx[cos(x)] = -sen(x) |
| tan(x) | sec²(x) | d/dx[tan(x)] = sec²(x) |
| arcsen(x) | 1/√(1-x²) | d/dx[arcsen(x)] = 1/√(1-x²) |
| arctan(x) | 1/(1+x²) | d/dx[arctan(x)] = 1/(1+x²) |
3Reglas de derivación
Regla de la potencia
d/dx [x^n] = n · x^(n-1)
📋 Ejemplo
f(x) = 4x³ - 7x² + 2x - 5 Hallar f'(x)
Solución — derivar término a término
// Aplicar regla de la potencia a cada término d/dx[4x³] = 4 · 3x² = 12x² d/dx[-7x²] = -7 · 2x = -14x d/dx[2x] = 2 · 1 = 2 d/dx[-5] = 0 ← constante f'(x) = 12x² - 14x + 2
f'(x) = 12x² - 14x + 2
Regla del producto
d/dx [f · g] = f' · g + f · g'
"Derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo"
📋 Ejemplo
h(x) = x² · sen(x) Hallar h'(x)
Solución
// Identificar f y g f(x) = x² f'(x) = 2x g(x) = sen(x) g'(x) = cos(x) // Aplicar regla del producto h'(x) = f'·g + f·g' = 2x · sen(x) + x² · cos(x) = 2x·sen(x) + x²·cos(x)
h'(x) = 2x·sen(x) + x²·cos(x)
Regla del cociente
d/dx [f/g] = (f'·g - f·g') / g²
"Derivada de arriba por abajo, menos arriba por derivada de abajo, todo sobre abajo al cuadrado"
📋 Ejemplo
y = (x² + 1) / (x - 3) Hallar y'
Solución
f(x) = x² + 1 f'(x) = 2x
g(x) = x - 3 g'(x) = 1
y' = (f'·g - f·g') / g²
= [2x·(x-3) - (x²+1)·1] / (x-3)²
= [2x² - 6x - x² - 1] / (x-3)²
= (x² - 6x - 1) / (x - 3)²
y' = (x² - 6x - 1) / (x - 3)²
4Regla de la cadena
La regla de la cadena se usa para derivar funciones compuestas. Si y = f(g(x)), entonces:
Regla de la cadena
dy/dx = f'(g(x)) · g'(x)
"Derivada de la función exterior evaluada en la interior, por la derivada de la interior"
📋 Ejemplos con la regla de la cadena
Hallar la derivada de: (a) y = (3x²+1)^5 (b) y = sen(4x) (c) y = e^(x²)
Soluciones
// (a) y = (3x² + 1)^5 Exterior: u^5 → 5u^4 Interior: 3x²+1 → 6x y' = 5(3x²+1)^4 · 6x = 30x(3x²+1)^4 // (b) y = sen(4x) Exterior: sen(u) → cos(u) Interior: 4x → 4 y' = cos(4x) · 4 = 4cos(4x) // (c) y = e^(x²) Exterior: e^u → e^u Interior: x² → 2x y' = e^(x²) · 2x = 2x·e^(x²)
(a) 30x(3x²+1)^4 (b) 4cos(4x) (c) 2x·e^(x²)
5Derivadas trigonométricas
| f(x) | f'(x) | Con cadena: f(g(x)) |
|---|---|---|
| sen(x) | cos(x) | cos(g(x)) · g'(x) |
| cos(x) | -sen(x) | -sen(g(x)) · g'(x) |
| tan(x) | sec²(x) | sec²(g(x)) · g'(x) |
| cot(x) | -csc²(x) | -csc²(g(x)) · g'(x) |
| sec(x) | sec(x)·tan(x) | sec(g)·tan(g)·g'(x) |
| csc(x) | -csc(x)·cot(x) | -csc(g)·cot(g)·g'(x) |
6Derivación implícita
Cuando y no está despejada, se usa derivación implícita: se deriva ambos lados respecto a x, tratando y como función de x y aplicando regla de la cadena.
📋 Ejemplo — Círculo unitario
x² + y² = 25 Hallar dy/dx
Solución implícita
// Derivar ambos lados respecto a x d/dx[x²] + d/dx[y²] = d/dx[25] 2x + 2y · (dy/dx) = 0 ← regla cadena en y² // Despejar dy/dx 2y · (dy/dx) = -2x dy/dx = -x / y
dy/dx = -x/y
7🏋 Ejercicios Resueltos
📋 Ejercicio 1
f(x) = 3x⁴ - 8x³ + 6x² - x + 10 Hallar f'(x) y f''(x)
Solución completa
// Primera derivada f'(x) = 12x³ - 24x² + 12x - 1 // Segunda derivada f''(x) = 36x² - 48x + 12
f'(x) = 12x³ - 24x² + 12x - 1 | f''(x) = 36x² - 48x + 12
📋 Ejercicio 2 — Regla de la cadena
g(x) = ln(x² + 3x + 1) Hallar g'(x)
Solución
// Exterior: ln(u) → 1/u // Interior: x²+3x+1 → 2x+3 g'(x) = 1/(x²+3x+1) · (2x+3) g'(x) = (2x + 3) / (x² + 3x + 1)
g'(x) = (2x + 3) / (x² + 3x + 1)
📋 Ejercicio 3 — Producto + Cadena
h(x) = x³ · e^(2x) Hallar h'(x)
Solución
// Regla del producto: f=x³, g=e^(2x) f'(x) = 3x² g'(x) = e^(2x) · 2 = 2e^(2x) ← regla cadena h'(x) = f'g + fg' = 3x² · e^(2x) + x³ · 2e^(2x) = e^(2x)(3x² + 2x³) = x²·e^(2x)·(3 + 2x)
h'(x) = x²·e^(2x)·(2x + 3)
📋 Ejercicio 4 — Aplicación: velocidad e instantánea
La posición de un objeto es s(t) = t³ - 6t² + 9t (metros). Hallar la velocidad en t=2 s.
Solución aplicada
// La velocidad es la derivada de la posición v(t) = s'(t) = 3t² - 12t + 9 // Evaluar en t = 2 v(2) = 3(4) - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 m/s ← el objeto va en sentido negativo
v(2) = -3 m/s (el objeto desacelera y se mueve en sentido negativo)
∂ ¿Dominaste las derivadas?
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