∂ Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden: Variables Separables, Lineales y Exactas
Aprende a resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Variables separables, ecuaciones lineales con factor integrante y ecuaciones exactas resueltas paso a paso en español.
1¿Qué es una ecuación diferencial?
Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función desconocida con sus derivadas. Aparece en física, ingeniería, biología y economía para modelar fenómenos de cambio.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales
dy/dx = f(x, y)
y' + P(x)y = Q(x)
d²y/dx² + y = 0
y' + P(x)y = Q(x)
d²y/dx² + y = 0
💡 Aplicaciones reales
Física: movimiento de partículas, circuitos eléctricos, calor
Biología: crecimiento poblacional, propagación de enfermedades
Ingeniería: sistemas de control, vibraciones mecánicas
Economía: modelos de crecimiento económico
Biología: crecimiento poblacional, propagación de enfermedades
Ingeniería: sistemas de control, vibraciones mecánicas
Economía: modelos de crecimiento económico
2Clasificación de EDOs
| Criterio | Tipo | Ejemplo |
|---|---|---|
| Orden | 1er orden: solo y' | y' = 2x |
| 2do orden: y'' aparece | y'' + y = 0 | |
| Linealidad | Lineal: y y sus derivadas en grado 1 | y' + 3y = x |
| No lineal: y al cuadrado, o y·y' | y' = y² | |
| Tipo | Variables separables | y' = f(x)·g(y) |
| Lineal de 1er orden | y' + P(x)y = Q(x) | |
| Exacta | M dx + N dy = 0 |
3Variables separables
Una EDO es de variables separables si puede escribirse como dy/dx = f(x)·g(y). La técnica consiste en separar las variables y integrar ambos lados.
Método de variables separables
dy/g(y) = f(x) dx
∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx
∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx
📋 Ejemplo 1 — Separable básica
Resolver: dy/dx = 2xy
Solución paso a paso
// Paso 1: Separar variables (y a la izquierda, x a la derecha) dy/y = 2x dx // Paso 2: Integrar ambos lados ∫ dy/y = ∫ 2x dx ln|y| = x² + C₁ // Paso 3: Despejar y |y| = e^(x² + C₁) = e^(C₁) · e^(x²) y = C · e^(x²) donde C = ±e^(C₁) // Solución general: y = C · e^(x²)
y = C·e^(x²)
📋 Ejemplo 2 — Crecimiento poblacional
dP/dt = kP (crecimiento exponencial) P(0) = P₀
Solución clásica
// Separar dP/P = k dt // Integrar ln|P| = kt + C // Despejar P(t) = e^(kt+C) = A·e^(kt) // Condición inicial P(0) = P₀: P(0) = A·e^0 = A = P₀ P(t) = P₀ · e^(kt)
P(t) = P₀·e^(kt) — ley de crecimiento/decaimiento exponencial
4Ecuaciones lineales de primer orden
La forma estándar es y' + P(x)·y = Q(x). Se resuelven con un factor integrante μ(x).
Método del factor integrante
μ(x) = e^(∫ P(x)dx)
Solución: y = (1/μ) · ∫ [μ·Q(x)] dx + C
Solución: y = (1/μ) · ∫ [μ·Q(x)] dx + C
📋 EDO lineal de primer orden
Resolver: y' + 2y = 4x
Solución con factor integrante
// P(x) = 2, Q(x) = 4x // Paso 1: Factor integrante μ(x) = e^(∫2 dx) = e^(2x) // Paso 2: Multiplicar toda la ecuación por μ e^(2x)·y' + 2e^(2x)·y = 4x·e^(2x) // Paso 3: El lado izquierdo es d/dx[y·e^(2x)] d/dx[y·e^(2x)] = 4x·e^(2x) // Paso 4: Integrar ambos lados y·e^(2x) = ∫ 4x·e^(2x) dx // ∫ 4x·e^(2x)dx por partes: u=4x, dv=e^(2x)dx = 4x·(e^(2x)/2) - ∫ 4·(e^(2x)/2) dx = 2x·e^(2x) - e^(2x) + C // Paso 5: Despejar y y = (2x·e^(2x) - e^(2x) + C) / e^(2x) y = 2x - 1 + C·e^(-2x)
y = 2x - 1 + C·e^(-2x)
5Ecuaciones exactas
Una EDO M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 es exacta si existe F(x,y) tal que dF = M dx + N dy.
Condición de exactitud
∂M/∂y = ∂N/∂x
Si se cumple, la solución es F(x,y) = C donde ∂F/∂x = M y ∂F/∂y = N
📋 Ecuación exacta
(2xy + 3) dx + (x² - 4y) dy = 0
Solución completa
// M = 2xy + 3, N = x² - 4y // Verificar exactitud: ∂M/∂y = 2x ∂N/∂x = 2x ✓ (es exacta) // Hallar F integrando M respecto a x: F = ∫ (2xy+3) dx = x²y + 3x + g(y) // Hallar g(y) usando ∂F/∂y = N: ∂F/∂y = x² + g'(y) = x² - 4y g'(y) = -4y g(y) = -2y² // Solución general: F(x,y) = x²y + 3x - 2y² = C
x²y + 3x - 2y² = C
6Problema de valor inicial (PVI)
Un PVI determina la constante C usando una condición inicial y(x₀) = y₀. Así obtienes la solución particular, única para esas condiciones.
📋 PVI completo
dy/dx = 3x² y(0) = 5 Hallar la solución particular
Solución
// Paso 1: Solución general (integrar) y = ∫ 3x² dx = x³ + C // Paso 2: Aplicar condición inicial y(0) = 5 5 = (0)³ + C C = 5 // Paso 3: Solución particular y = x³ + 5
y = x³ + 5
7🏋 Ejercicios Resueltos
📋 Ejercicio 1 — Separable con PVI
dy/dx = y·cos(x) y(0) = 2
Solución
// Separar dy/y = cos(x) dx // Integrar ln|y| = sen(x) + C y = A·e^(sen(x)) // Condición inicial y(0) = 2: 2 = A·e^(sen(0)) = A·e^0 = A A = 2 y = 2·e^(sen(x))
y = 2·e^(sen(x))
📋 Ejercicio 2 — Lineal con PVI
y' - y/x = x² y(1) = 3
Solución con factor integrante
// P(x) = -1/x, Q(x) = x² μ(x) = e^(∫-1/x dx) = e^(-ln|x|) = 1/x // Multiplicar por μ = 1/x: y'/x - y/x² = x d/dx[y/x] = x // Integrar: y/x = x²/2 + C y = x³/2 + Cx // Condición y(1) = 3: 3 = 1/2 + C → C = 5/2 y = x³/2 + (5/2)x
y = x³/2 + (5/2)x
📋 Ejercicio 3 — Aplicación: enfriamiento de Newton
Un objeto a 90°C se enfría en un ambiente de 20°C. Después de 5 min está a 60°C. ¿Cuándo llegará a 30°C?
Ley de Newton del enfriamiento: dT/dt = k(T - T_amb)
// T_amb = 20, modelo: dT/dt = k(T-20) // Variables separables: dT/(T-20) = k dt → T-20 = A·e^(kt) // T(0) = 90: 90-20 = A → A = 70 T(t) = 20 + 70·e^(kt) // T(5) = 60: 60 = 20 + 70·e^(5k) 40 = 70·e^(5k) e^(5k) = 4/7 k = ln(4/7)/5 = -0.0559 // ¿Cuándo T = 30? 30 = 20 + 70·e^(-0.0559·t) 10/70 = e^(-0.0559·t) t = -ln(1/7)/0.0559 t = ln(7)/0.0559 ≈ 35.1 minutos
El objeto llegará a 30°C en aproximadamente 35.1 minutos
∂ ¿Dominaste las EDOs de primer orden?
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