∂ Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden: Ecuación Característica y Solución Completa
Aprende a resolver EDOs lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Ecuación característica, solución homogénea, solución particular y aplicaciones físicas con ejercicios resueltos.
1EDO de segundo orden: forma general
Una EDO lineal de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma:
Forma general
ay'' + by' + cy = g(x)
Si g(x) = 0 → ecuación homogénea Si g(x) ≠ 0 → ecuación no homogénea
💡 Estructura de la solución general
La solución general de ay'' + by' + cy = g(x) es:
y = y_h + y_p
Donde y_h es la solución de la ecuación homogénea (g=0) y y_p es una solución particular de la ecuación completa.
y = y_h + y_p
Donde y_h es la solución de la ecuación homogénea (g=0) y y_p es una solución particular de la ecuación completa.
2Ecuación característica
Para resolver la parte homogénea, se propone y = e^(rx) y se sustituye. Esto lleva a la ecuación característica:
Ecuación característica de ay'' + by' + cy = 0
ar² + br + c = 0
Es una ecuación cuadrática en r. Sus raíces determinan la forma de y_h
3Los tres casos de la ecuación característica
| Discriminante b²-4ac | Tipo de raíces | Solución homogénea y_h |
|---|---|---|
| > 0 | Dos raíces reales distintas r₁, r₂ | C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x) |
| = 0 | Raíz real repetida r₁ = r₂ = r | (C₁ + C₂x)e^(rx) |
| < 0 | Raíces complejas α ± βi | e^(αx)[C₁cos(βx)+C₂sen(βx)] |
Caso 1: Raíces reales distintas
📋 Ejemplo
y'' - 5y' + 6y = 0
Solución
// Ecuación característica: r² - 5r + 6 = 0 (r - 2)(r - 3) = 0 r₁ = 2, r₂ = 3 // Dos raíces reales distintas: y_h = C₁e^(2x) + C₂e^(3x)
y = C₁e^(2x) + C₂e^(3x)
Caso 2: Raíz repetida
📋 Ejemplo
y'' - 4y' + 4y = 0
Solución
// Ecuación característica: r² - 4r + 4 = 0 (r - 2)² = 0 r = 2 (raíz doble) // Raíz repetida — incluir factor x: y_h = (C₁ + C₂x)e^(2x)
y = (C₁ + C₂x)e^(2x)
Caso 3: Raíces complejas
📋 Ejemplo
y'' + 2y' + 5y = 0
Solución
// Ecuación característica: r² + 2r + 5 = 0 r = (-2 ± √(4-20))/2 = (-2 ± √(-16))/2 r = -1 ± 2i ← α = -1, β = 2 // Raíces complejas — usar seno y coseno: y_h = e^(-x)[C₁cos(2x) + C₂sen(2x)]
y = e^(-x)[C₁cos(2x) + C₂sen(2x)]
4Solución particular: coeficientes indeterminados
Para hallar y_p en la ecuación no homogénea, se propone una forma basada en g(x):
| g(x) | Proponer y_p |
|---|---|
| k (constante) | A |
| kx^n | Ax^n + Bx^(n-1) + ... + Z |
| k·e^(ax) | Ae^(ax) |
| k·cos(bx) o k·sen(bx) | A·cos(bx) + B·sen(bx) |
| e^(ax)·cos(bx) | e^(ax)[A·cos(bx)+B·sen(bx)] |
📋 EDO no homogénea completa
y'' - 5y' + 6y = 3x
Solución completa
// PARTE 1: y_h (ya la calculamos arriba) y_h = C₁e^(2x) + C₂e^(3x) // PARTE 2: y_p para g(x)=3x (proponer Ax+B) y_p = Ax + B y_p' = A y_p'' = 0 // Sustituir en la EDO: 0 - 5A + 6(Ax + B) = 3x 6Ax + (-5A + 6B) = 3x + 0 // Sistema de ecuaciones: 6A = 3 → A = 1/2 -5A + 6B = 0 → B = 5A/6 = 5/12 y_p = (1/2)x + 5/12 // Solución general: y = y_h + y_p = C₁e^(2x) + C₂e^(3x) + x/2 + 5/12
y = C₁e^(2x) + C₂e^(3x) + x/2 + 5/12
5Solución completa con condiciones iniciales
📋 PVI de segundo orden
y'' - y = 0 y(0) = 2, y'(0) = 0
Solución con condiciones iniciales
// Ecuación característica: r² - 1 = 0 → r = ±1 y = C₁e^x + C₂e^(-x) y' = C₁e^x - C₂e^(-x) // Condición y(0) = 2: C₁ + C₂ = 2 ... (i) // Condición y'(0) = 0: C₁ - C₂ = 0 ... (ii) // Sumar (i) y (ii): 2C₁ = 2 → C₁ = 1 C₂ = 1 y = e^x + e^(-x) (= 2·cosh(x))
y = e^x + e^(-x)
6Aplicación: oscilador armónico
El oscilador armónico (resorte-masa) es la aplicación más clásica de las EDOs de segundo orden. La ley de Hooke y la segunda ley de Newton dan:
Modelo del resorte-masa
mx'' + bx' + kx = F(t)
m = masa, b = amortiguamiento, k = constante del resorte, F(t) = fuerza externa
💡 Tipos de oscilación según el discriminante
b² - 4mk > 0: sistema sobreamortiguado (no oscila, regresa lentamente)
b² - 4mk = 0: amortiguamiento crítico (regreso más rápido sin oscilación)
b² - 4mk < 0: sistema subamortiguado (oscila con amplitud decreciente)
b² - 4mk = 0: amortiguamiento crítico (regreso más rápido sin oscilación)
b² - 4mk < 0: sistema subamortiguado (oscila con amplitud decreciente)
📋 Oscilación libre sin amortiguamiento
x'' + 9x = 0 x(0) = 2, x'(0) = 0 (resorte sin fricción)
Solución: movimiento armónico simple
// Ec. característica: r² + 9 = 0 → r = ±3i // Raíces complejas: α=0, β=3 x(t) = C₁cos(3t) + C₂sen(3t) x'(t) = -3C₁sen(3t) + 3C₂cos(3t) // x(0) = 2: C₁ = 2 // x'(0) = 0: 3C₂ = 0 → C₂ = 0 x(t) = 2cos(3t) // Período T = 2π/3 ≈ 2.09 seg // Amplitud = 2
x(t) = 2·cos(3t) — oscilación pura con amplitud 2 y frecuencia ω=3
7🏋 Ejercicios Resueltos
📋 Ejercicio 1 — Raíces reales distintas con PVI
y'' + y' - 2y = 0 y(0) = 1, y'(0) = 4
Solución
r² + r - 2 = 0 (r+2)(r-1) = 0 → r₁=-2, r₂=1 y = C₁e^(-2x) + C₂e^x y' = -2C₁e^(-2x) + C₂e^x // y(0)=1: C₁ + C₂ = 1 // y'(0)=4: -2C₁ + C₂ = 4 // Restando: 3C₁ = -3 → C₁ = -1, C₂ = 2 y = -e^(-2x) + 2e^x
y = -e^(-2x) + 2e^x
📋 Ejercicio 2 — No homogénea completa
y'' + 4y = 8x²
Solución
// Parte homogénea: r²+4=0 → r=±2i y_h = C₁cos(2x) + C₂sen(2x) // Parte particular: g=8x², proponer y_p=Ax²+Bx+C y_p = Ax² + Bx + C y_p'' = 2A Sustituir: 2A + 4(Ax²+Bx+C) = 8x² 4Ax² → A = 2 4Bx → B = 0 2A+4C → 4 + 4C = 0 → C = -1 y_p = 2x² - 1 // Solución general: y = C₁cos(2x) + C₂sen(2x) + 2x² - 1
y = C₁cos(2x) + C₂sen(2x) + 2x² - 1
∂ ¿Dominaste las EDOs de segundo orden?
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