Integrales Definidas: Teorema Fundamental del Cálculo y Ejercicios

∫ Cálculo Integral

Integrales Definidas: Teorema Fundamental del Cálculo y Área bajo la Curva

Aprende a calcular integrales definidas aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo. Área entre curvas, propiedades y ejercicios resueltos paso a paso en español.

⏱ 18 min de lectura 🏟 Cálculo II 📐 Ejercicios resueltos 📊 Paso a paso

📚 Contenido

1. Definición de integral definida
2. Teorema Fundamental del Cálculo
3. Propiedades de la integral definida
4. Área bajo la curva
5. Área entre dos curvas
6. Sustitución en integrales definidas
7. Ejercicios resueltos

1Definición de integral definida

La integral definida calcula el área neta bajo la curva de f(x) entre dos valores a y b. A diferencia de la indefinida, el resultado es un número, no una familia de funciones.

Integral definida de Riemann

∫[a,b] f(x) dx = lim ∑ f(x_i) Δx
n → ∞

Suma infinita de rectángulos infinitamente delgados bajo la curva

💡 Área neta vs área total

La integral definida calcula área neta: las regiones bajo el eje x se restan. Para calcular el área total (siempre positiva), usa el valor absoluto: ∫ |f(x)| dx.

2Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) conecta la derivada con la integral. Es el resultado más importante de todo el cálculo.

Teorema Fundamental del Cálculo

∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)

Donde F es cualquier antiderivada de f, es decir, F'(x) = f(x)

El procedimiento se resume en 3 pasos:

1. Encontrar la antiderivada F(x) de f(x) (sin incluir la constante C)
2. Evaluar F en el límite superior: F(b)
3. Restar F evaluada en el límite inferior: F(a)

📋 Ejemplo básico con el TFC

∫[1,3] (2x + 1) dx

Solución paso a paso

// Paso 1: Encontrar la antiderivada
F(x) = x² + x

// Paso 2 y 3: Evaluar F(b) - F(a)
F(3) = 9 + 3  = 12
F(1) = 1 + 1  = 2

∫[1,3] (2x+1) dx = F(3) - F(1) = 12 - 2 = 10

∫[1,3] (2x+1) dx = 10

3Propiedades de la integral definida

Propiedad	Fórmula
Inversión de límites	∫[a,b] f dx = -∫[b,a] f dx
Límites iguales	∫[a,a] f dx = 0
Aditividad	∫[a,c] f dx = ∫[a,b] f dx + ∫[b,c] f dx
Linealidad	∫[a,b] [cf+g] dx = c∫f dx + ∫g dx
Función par	∫[-a,a] f dx = 2∫[0,a] f dx
Función impar	∫[-a,a] f dx = 0

4Área bajo la curva

Una de las aplicaciones más importantes de la integral definida es calcular el área de la región comprendida entre una curva y el eje x.

📐 Regla importante

Si f(x) cambia de signo en [a, b], divide el intervalo en subintervalos donde f sea positiva o negativa, y suma los valores absolutos de cada integral parcial.

📋 Área bajo una parábola

Calcula el área de la región entre y = x² - 4 y el eje x en [-2, 2]

Solución con valor absoluto

// f(x) = x²-4 es negativa en (-2, 2): la parábola está bajo el eje
// Área = |∫[-2,2] (x²-4) dx|

F(x) = x³/3 - 4x

F(2)  = 8/3 - 8  = 8/3 - 24/3 = -16/3
F(-2) = -8/3 + 8 = -8/3 + 24/3 = 16/3

∫[-2,2] (x²-4) dx = -16/3 - 16/3 = -32/3

Área = |-32/3| = 32/3 ≈ 10.67 unidades²

Área = 32/3 unidades cuadradas

5Área entre dos curvas

Área entre f(x) y g(x)

A = ∫[a,b] [f(x) - g(x)] dx

Donde f(x) ≥ g(x) en todo el intervalo [a, b]

📋 Área entre parábola y recta

Halla el área entre f(x) = x² y g(x) = x en [0, 1]

Solución completa

// En [0,1]: g(x)=x está por encima de f(x)=x²
A = ∫[0,1] [x - x²] dx

F(x) = x²/2 - x³/3

F(1) = 1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6
F(0) = 0

A = 1/6 - 0 = 1/6 unidades²

Área entre x y x² en [0,1] = 1/6 unidades cuadradas

6Sustitución en integrales definidas

⚠️ Importante: cambiar los límites

Al hacer sustitución u = g(x) en una integral definida, debes transformar los límites también: el nuevo límite inferior es g(a) y el superior es g(b). Así no tienes que deshacer la sustitución al final.

📋 Sustitución con cambio de límites

∫[0,2] x·(x²+1)³ dx

Solución cambiando límites

u = x²+1  →  du = 2x dx  →  x dx = du/2

// Cambiar límites:
x=0: u = 0²+1 = 1
x=2: u = 2²+1 = 5

∫[1,5] u³ · du/2 = (1/2) · u^4/4 [de 1 a 5]
                 = u^4/8 [de 1 a 5]
                 = 5^4/8 - 1^4/8
                 = 625/8 - 1/8
                 = 624/8 = 78

∫[0,2] x·(x²+1)³ dx = 78

7🏋 Ejercicios Resueltos

📋 Ejercicio 1

∫[0,π] sen(x) dx

Solución

F(x) = -cos(x)

F(π) = -cos(π) = -(-1) = 1
F(0)  = -cos(0)  = -(1)  = -1

∫[0,π] sen(x) dx = 1 - (-1) = 2

// Interpretación: área completa de medio arco del seno = 2

∫[0,π] sen(x) dx = 2

📋 Ejercicio 2

∫[1,e] ln(x)/x dx

Solución por sustitución

u = ln(x)  →  du = 1/x dx

// Cambiar límites:
x=1: u = ln(1) = 0
x=e: u = ln(e) = 1

∫[0,1] u du = u²/2 [de 0 a 1] = 1/2 - 0 = 1/2

∫[1,e] ln(x)/x dx = 1/2

📋 Ejercicio 3 — Área entre curvas

Halla el área entre y = x² y y = 2x (busca primero los puntos de intersección)

Solución completa

// Paso 1: Puntos de intersección
x² = 2x  →  x²-2x = 0  →  x(x-2) = 0
x = 0  y  x = 2

// Paso 2: En [0,2], 2x >= x²  (verificar con x=1: 2>1)
A = ∫[0,2] (2x - x²) dx

F(x) = x² - x³/3

F(2) = 4 - 8/3 = 12/3 - 8/3 = 4/3
F(0) = 0

A = 4/3 - 0 = 4/3 unidades²

Área entre y=x² e y=2x es 4/3 unidades cuadradas

∫ ¿Dominaste las integrales definidas?

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