Integrales Indefinidas: Métodos de Integración Paso a Paso

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Integrales Indefinidas: Métodos de Integración y Ejercicios Resueltos Paso a Paso

Aprende a resolver integrales indefinidas desde cero. Tabla de integrales, sustitución, integración por partes y fracciones parciales con ejercicios resueltos en español.

⏱ 20 min de lectura 🏟 Cálculo II 📐 Ejercicios resueltos 📊 Paso a paso

📚 Contenido

1. ¿Qué es una integral indefinida?
2. Tabla de integrales fundamentales
3. Propiedades de la integral
4. Método de sustitución (cambio de variable)
5. Integración por partes
6. Integrales trigonométricas
7. Ejercicios resueltos

1¿Qué es una integral indefinida?

La integral indefinida es la operación inversa a la derivada. Si F'(x) = f(x), entonces F(x) es una antiderivada de f(x). El conjunto de todas las antiderivadas se escribe con la constante de integración C.

Definición de integral indefinida

∫ f(x) dx = F(x) + C

Donde F'(x) = f(x) y C es la constante de integración

💡 Verificación de una integral

Para verificar que una integral es correcta, simplemente deriva el resultado. Si obtienes la función original (el integrando), la integral está bien calculada.

2Tabla de integrales fundamentales

f(x)	∫ f(x) dx	Restricción
k (constante)	kx + C	—
x^n	x^(n+1)/(n+1) + C	n ≠ -1
1/x	ln|x| + C	x ≠ 0
e^x	e^x + C	—
a^x	a^x/ln(a) + C	a > 0, a ≠ 1
sen(x)	-cos(x) + C	—
cos(x)	sen(x) + C	—
sec²(x)	tan(x) + C	—
1/√(1-x²)	arcsen(x) + C	|x| < 1
1/(1+x²)	arctan(x) + C	—

3Propiedades de la integral

Propiedad	Fórmula
Constante	∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx
Suma	∫ [f+g] dx = ∫ f dx + ∫ g dx
Diferencia	∫ [f-g] dx = ∫ f dx - ∫ g dx
Potencia	∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C

📋 Ejemplo directo

∫ (5x³ - 3x² + 7x - 2) dx

Integrar término a término

// Aplicar regla de la potencia a cada término
∫ 5x³ dx  = 5 · x^4/4   = (5/4)x^4
∫ -3x² dx = -3 · x^3/3  = -x^3
∫ 7x dx   = 7 · x^2/2   = (7/2)x^2
∫ -2 dx   = -2x

Resultado: (5/4)x^4 - x^3 + (7/2)x^2 - 2x + C

∫(5x³-3x²+7x-2)dx = (5/4)x^4 - x^3 + (7/2)x^2 - 2x + C

4Método de sustitución

La sustitución o cambio de variable simplifica integrales complejas reemplazando una expresión por una variable u. Es la técnica más usada.

Método de sustitución

∫ f(g(x))·g'(x) dx

Sea u = g(x) → du = g'(x)dx

= ∫ f(u) du

📋 Ejemplo 1 — Sustitución básica

∫ 2x · (x² + 1)^5 dx

Solución paso a paso

// Paso 1: Elegir u
u = x² + 1
du = 2x dx   ← aparece exactamente en el integrando

// Paso 2: Sustituir
∫ (x²+1)^5 · 2x dx = ∫ u^5 du

// Paso 3: Integrar
= u^6/6 + C

// Paso 4: Regresar a x
= (x² + 1)^6 / 6 + C

∫ 2x(x²+1)^5 dx = (x²+1)^6 / 6 + C

📋 Ejemplo 2 — Sustitución con ajuste

∫ x · e^(x²) dx

Solución

u = x²
du = 2x dx  →  x dx = du/2

∫ e^(x²) · x dx = ∫ e^u · du/2 = (1/2)∫ e^u du

= (1/2)e^u + C = (1/2)e^(x²) + C

∫ x·e^(x²) dx = (1/2)e^(x²) + C

5Integración por partes

Se usa cuando el integrando es producto de dos funciones de tipos distintos.

Fórmula de integración por partes

∫ u dv = u·v - ∫ v du

🔑 Regla LIATE para elegir u

Elige u en este orden de prioridad:
Logarítmica → Inversa trig → Algebraica → Trigonométrica → Exponencial

📋 Ejemplo — Integración por partes

∫ x · e^x dx

Solución por partes

// Por LIATE: u = x (algebraica), dv = e^x dx
u  = x       →   du = dx
dv = e^x dx  →   v  = e^x

// Aplicar fórmula: ∫ u dv = uv - ∫ v du
∫ x·e^x dx = x·e^x - ∫ e^x dx
            = x·e^x - e^x + C
            = e^x(x - 1) + C

∫ x·e^x dx = e^x(x - 1) + C

📋 Ejemplo 2 — con logaritmo

∫ ln(x) dx

Solución

// u = ln(x), dv = dx
u  = ln(x)  →  du = (1/x) dx
dv = dx     →  v  = x

∫ ln(x) dx = x·ln(x) - ∫ x · (1/x) dx
            = x·ln(x) - ∫ 1 dx
            = x·ln(x) - x + C
            = x(ln(x) - 1) + C

∫ ln(x) dx = x·ln(x) - x + C

6Integrales trigonométricas

📋 Ejemplos resueltos

(a) ∫ sen²(x) dx    (b) ∫ sen(x)cos(x) dx

Soluciones usando identidades trigonométricas

// (a) ∫ sen²(x) dx
// Identidad: sen²(x) = (1 - cos(2x))/2
= ∫ (1 - cos(2x))/2 dx
= (1/2)∫ dx - (1/2)∫ cos(2x) dx
= x/2 - sen(2x)/4 + C
= x/2 - sen(2x)/4 + C

// (b) ∫ sen(x)cos(x) dx
// Método: sustitución u = sen(x)
u = sen(x)  →  du = cos(x) dx
= ∫ u du = u²/2 + C = sen²(x)/2 + C

(a) x/2 - sen(2x)/4 + C    |    (b) sen²(x)/2 + C

7🏋 Ejercicios para practicar

📋 Ejercicio 1

∫ (3x^5 - 2/x + 4e^x) dx

Solución directa

∫ 3x^5 dx  = (1/2)x^6
∫ -2/x dx  = -2·ln|x|
∫ 4e^x dx  = 4e^x

Resultado: (1/2)x^6 - 2·ln|x| + 4e^x + C

(1/2)x^6 - 2ln|x| + 4e^x + C

📋 Ejercicio 2 — Sustitución

∫ cos(3x + 1) dx

Solución

u = 3x + 1  →  du = 3 dx  →  dx = du/3

∫ cos(u) · du/3 = (1/3)sen(u) + C
                 = (1/3)sen(3x+1) + C

(1/3)·sen(3x + 1) + C

📋 Ejercicio 3 — Integración por partes

∫ x² · sen(x) dx

Solución (dos veces por partes)

// Primera aplicación: u=x², dv=sen(x)dx
u=x²     du=2x dx
dv=sen(x)dx   v=-cos(x)

= -x²cos(x) + ∫ 2x·cos(x) dx

// Segunda aplicación: u=2x, dv=cos(x)dx
u=2x     du=2 dx
dv=cos(x)dx   v=sen(x)

= -x²cos(x) + [2x·sen(x) - ∫ 2·sen(x) dx]
= -x²cos(x) + 2x·sen(x) + 2cos(x) + C
= (2-x²)cos(x) + 2x·sen(x) + C

∫ x²·sen(x) dx = (2-x²)cos(x) + 2x·sen(x) + C

∫ ¿Dominaste las integrales indefinidas?

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