𝔸 Álgebra Lineal
Matrices y Determinantes: Guía Completa con Ejercicios Resueltos Paso a Paso
Aprende operaciones con matrices y cálculo de determinantes. Suma, multiplicación, transpuesta, inversa, regla de Sarrus y sistemas de ecuaciones con ejercicios resueltos.
1¿Qué es una matriz?
Una matriz es una tabla rectangular de números organizados en filas y columnas. Se denota con letras mayúsculas (A, B, C) y su tamaño se expresa como m×n (m filas × n columnas).
Matriz A de 3×3
[
a₁₁a₁₂a₁₃
a₂₁a₂₂a₂₃
a₃₁a₃₂a₃₃
]
aᴵ = elemento en la fila i, columna j
2Tipos de matrices
| Tipo | Descripción | Ejemplo |
|---|---|---|
| Cuadrada | m = n (mismas filas y columnas) | 2×2, 3×3 |
| Identidad (I) | 1s en la diagonal, 0s fuera | diag(1,1,...,1) |
| Nula | Todos los elementos son 0 | 0 en toda la matriz |
| Diagonal | Solo la diagonal principal tiene valores | diag(2,5,3) |
| Simétrica | A = A^T (igual a su transpuesta) | aᴵ = aᴵ |
| Triangular | Superior: ceros bajo la diagonal | Inferior: ceros sobre |
3Operaciones con matrices
Suma y resta
Solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño. Se suman elemento a elemento.
📋 Suma de matrices 2×2
A = [[1,2],[3,4]] B = [[5,6],[7,8]] Calcular A + B
Solución
// Sumar elemento a elemento
A + B = [[ 1+5, 2+6 ], = [[ 6, 8 ],
[ 3+7, 4+8 ]] [ 10, 12 ]]
A + B = [[6,8],[10,12]]
Multiplicación de matrices
📐 Regla de multiplicación
Para multiplicar A(m×n) · B(n×p), el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. El resultado es una matriz de m×p. Cada elemento (i,j) del resultado es el producto punto de la fila i de A por la columna j de B.
📋 Multiplicación 2×2
A = [[1,2],[3,4]] B = [[5,6],[7,8]] Calcular A × B
Solución paso a paso
// C[i,j] = suma de (fila i de A) × (columna j de B) C[1,1] = 1·5 + 2·7 = 5 + 14 = 19 C[1,2] = 1·6 + 2·8 = 6 + 16 = 22 C[2,1] = 3·5 + 4·7 = 15 + 28 = 43 C[2,2] = 3·6 + 4·8 = 18 + 32 = 50 A × B = [[ 19, 22 ], [ 43, 50 ]]
A × B = [[19,22],[43,50]]
4Determinante de una matriz
El determinante es un número escalar que se calcula a partir de los elementos de una matriz cuadrada. Tiene múltiples aplicaciones: sistemas de ecuaciones, inversas, área de polígonos.
Determinante 2×2
det(A) = |A| = ad - bc
donde A = [[a,b],[c,d]]
donde A = [[a,b],[c,d]]
📋 Determinante 2×2
A = [[3,2],[1,4]] Calcular det(A)
Solución
det(A) = (3)(4) - (2)(1) = 12 - 2 = 10
det(A) = 10
5Regla de Sarrus (determinante 3×3)
Regla de Sarrus
|A| = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
Para A = [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]
Diagonales principales (izq-der) se suman, secundarias (der-izq) se restan
Diagonales principales (izq-der) se suman, secundarias (der-izq) se restan
📋 Determinante 3×3 con Sarrus
A = [[2,1,3],[0,4,1],[1,2,5]] Calcular det(A)
Solución completa
// A = | 2 1 3 | // | 0 4 1 | // | 1 2 5 | // Diagonales principales (suma): +aei = 2·4·5 = 40 +bfg = 1·1·1 = 1 +cdh = 3·0·2 = 0 // Diagonales secundarias (resta): -ceg = 3·4·1 = 12 -afh = 2·1·2 = 4 -bdi = 1·0·5 = 0 det(A) = (40+1+0) - (12+4+0) = 41 - 16 = 25
det(A) = 25
6Matriz inversa
La matriz inversa A⁻¹ cumple que A·A⁻¹ = I. Solo existe si det(A) ≠ 0.
Inversa de una matriz 2×2
A⁻¹ = (1/det(A)) · [[d,-b],[-c,a]]
Intercambia los elementos de la diagonal y cambia los signos de los otros
📋 Calcular la inversa
A = [[3,2],[1,4]] (det(A)=10) Calcular A⁻¹
Solución
// det(A) = 10 A⁻¹ = (1/10) · [[ 4, -2], [-1, 3]] = [[ 0.4, -0.2], [-0.1, 0.3]] // Verificación: A · A⁻¹ = I [[3,2],[1,4]] · [[0.4,-0.2],[-0.1,0.3]] = [[1,0],[0,1]] ✓
A⁻¹ = [[0.4,-0.2],[-0.1,0.3]]
7🏋 Ejercicios Resueltos
📋 Ejercicio 1 — Multiplicación 2×3 × 3×2
A = [[1,0,2],[3,1,0]] B = [[1,2],[0,1],[4,0]] Calcular A×B
Solución
// A es 2×3, B es 3×2, resultado será 2×2 C[1,1] = 1·1 + 0·0 + 2·4 = 1 + 0 + 8 = 9 C[1,2] = 1·2 + 0·1 + 2·0 = 2 + 0 + 0 = 2 C[2,1] = 3·1 + 1·0 + 0·4 = 3 + 0 + 0 = 3 C[2,2] = 3·2 + 1·1 + 0·0 = 6 + 1 + 0 = 7 A × B = [[9, 2],[3, 7]]
A×B = [[9,2],[3,7]]
📋 Ejercicio 2 — Sistema con inversa
Resolver el sistema: 3x + 2y = 11 | x + 4y = 9
Solución matricial: X = A⁻¹ · B
// Forma matricial: A·X = B A = [[3,2],[1,4]] B = [[11],[9]] // Det(A) = 10, A⁻¹ = [[0.4,-0.2],[-0.1,0.3]] X = A⁻¹ · B x = 0.4·11 + (-0.2)·9 = 4.4 - 1.8 = 2.6 y = -0.1·11 + 0.3·9 = -1.1 + 2.7 = 1.6 // Verificación: 3(2.6)+2(1.6) = 7.8+3.2 = 11 ✓
x = 2.6 y = 1.6
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