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Vectores en el Espacio: Operaciones y Producto Vectorial

𝔸 Álgebra Lineal

Vectores en el Espacio: Operaciones, Producto Escalar y Vectorial con Ejercicios Resueltos

Aprende a trabajar con vectores en 2D y 3D. Suma, magnitud, producto escalar, producto vectorial, ángulo entre vectores y aplicaciones geométricas resueltas paso a paso.

⏱ 18 min de lectura 🏟 Álgebra Lineal 📐 Ejercicios resueltos 📊 Paso a paso

1¿Qué es un vector?

Un vector es una cantidad que tiene magnitud y dirección. Se representa con una flecha o con sus componentes entre paréntesis angulares.

Representación de vectores
En 2D: v = <a, b> = a·i + b·j
En 3D: v = <a, b, c> = a·i + b·j + c·k
Donde i, j, k son los vectores unitarios de los ejes x, y, z
ConceptoSímboloDescripción
Vectorv o v⃗Cantidad con magnitud y dirección
EscalarkCantidad con solo magnitud (un número)
Vector cero0 = <0,0,0>Magnitud cero, sin dirección definida
Vector unitario|v| = 1Magnitud igual a 1

2Operaciones con vectores

📋 Suma, resta y multiplicación escalar
u = <2, -1, 3>   v = <4, 2, -1>   k = 3
Calcular: u+v, u-v, k·u
Solución componente a componente
// Suma: componente a componente
u + v = <2+4, -1+2, 3+(-1)> = <6, 1, 2>

// Resta
u - v = <2-4, -1-2, 3-(-1)> = <-2, -3, 4>

// Multiplicación escalar: cada componente × k
3·u   = <3·2, 3·(-1), 3·3> = <6, -3, 9>
u+v = <6,1,2>    u-v = <-2,-3,4>    3u = <6,-3,9>

3Magnitud y vector unitario

Fórmulas
|v| = √(a² + b² + c²)

v̂ = v / |v|
El vector unitario v̂ apunta en la misma dirección que v pero con magnitud 1
📋 Magnitud y unitario
v = <3, 4, 0>   Calcular |v| y v̂
Solución
|v| = √(3² + 4² + 0²) = √(9+16+0) = √25 = 5

v̂ = v / |v| = <3/5, 4/5, 0/5> = <0.6, 0.8, 0>

// Verificación: |v̂| = √(0.36+0.64+0) = √1 = 1 ✓
|v| = 5    v̂ = <3/5, 4/5, 0>

4Producto escalar (dot product)

Producto escalar
u · v = a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂
El resultado es un NÚMERO (escalar), no un vector
💡 Aplicaciones del producto escalar
Si u·v = 0: los vectores son perpendiculares (ortogonales)
Si u·v > 0: el ángulo entre ellos es agudo (menor de 90°)
Si u·v < 0: el ángulo entre ellos es obtuso (mayor de 90°)
📋 Producto escalar
u = <1, 3, -2>   v = <4, -1, 2>   Calcular u·v
Solución
u · v = (1)(4) + (3)(-1) + (-2)(2)
      = 4 - 3 - 4
      = -3

// Ángulo: obtuso (resultado negativo)
u · v = -3

5Ángulo entre dos vectores

Ángulo entre vectores
cos(θ) = (u · v) / (|u| · |v|)

θ = arccos((u · v) / (|u| · |v|))
📋 Ángulo entre u y v
u = <1, 0, 0>   v = <1, 1, 0>   Hallar el ángulo
Solución
u · v = 1·1 + 0·1 + 0·0 = 1

|u| = √(1+0+0) = 1
|v| = √(1+1+0) = √2

cos(θ) = 1 / (1 · √2) = 1/√2

θ = arccos(1/√2) = 45°
θ = 45° (pi/4 radianes)

6Producto vectorial (cross product)

El producto vectorial solo existe en 3D. El resultado es un vector perpendicular a ambos vectores originales.

Producto vectorial u × v
u × v = <b₁c₂-c₁b₂, c₁a₂-a₁c₂, a₁b₂-b₁a₂>
Se calcula como el determinante de una matriz 3×3 con i, j, k en la primera fila
🔑 Truco: expansión por cofactores
Arma la matriz con [i j k / u / v] y expande por la primera fila. El signo central (j) es negativo.
📋 Producto vectorial
u = <1, 2, 3>   v = <4, 5, 6>   Calcular u × v
Solución usando cofactores
// Matriz: | i   j   k  |
//         | 1   2   3  |
//         | 4   5   6  |

i: +(2·6 - 3·5) = +(12-15) = -3
j: -(1·6 - 3·4) = -(6-12)  = +6
k: +(1·5 - 2·4) = +(5-8)   = -3

u × v = <-3, 6, -3>

// Verificación: (u × v) · u = (-3)(1)+(6)(2)+(-3)(3)
//                           = -3+12-9 = 0 ✓ (perpendicular)
u × v = <-3, 6, -3>

7🏋 Ejercicios Resueltos

📋 Ejercicio 1 — ¿Son perpendiculares?
u = <3, -1, 2>   v = <2, 4, 1>   ¿Son perpendiculares?
Solución
u · v = 3·2 + (-1)·4 + 2·1
      = 6 - 4 + 2
      = 4

// Como u·v = 4 ≠ 0, los vectores NO son perpendiculares
u · v = 4 → los vectores NO son perpendiculares
📋 Ejercicio 2 — Área de un paralelogramo
u = <2, 1, 0>   v = <1, 3, 0>   Hallar el área del paralelogramo formado
Solución: Área = |u × v|
// Calcular u × v
// | i  j  k |
// | 2  1  0 |
// | 1  3  0 |

i: +(1·0 - 0·3) = 0
j: -(2·0 - 0·1) = 0
k: +(2·3 - 1·1) = 5

u × v = <0, 0, 5>

Área = |u × v| = √(0+0+25) = 5 unidades²
Área del paralelogramo = 5 unidades cuadradas
📋 Ejercicio 3 — Proyección de u sobre v
u = <3, 4>   v = <1, 0>   Calcular la proyección de u sobre v
Fórmula: proj_v(u) = (u·v / |v|²) · v
u · v = 3·1 + 4·0 = 3
|v|²  = 1² + 0²  = 1

proj_v(u) = (3/1) · <1, 0> = <3, 0>

// La proyección de u sobre el eje x es el vector <3,0>
proj_v(u) = <3, 0>

→ ¿Dominaste los vectores?

¡Practica con los ejercicios y déjanos tus dudas en los comentarios!

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📖 Continúa aprendiendo
  • Ecuaciones diferenciales de primer orden
  • Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
  • Integrales definidas y área bajo la curva
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