¿Qué es un Vector? Definición y Operaciones Básicas

El vector es el objeto matemático fundamental del Álgebra Lineal: aparece en física para describir fuerzas y velocidades, en informática para representar datos, y es la base de temas más avanzados como matrices, espacios vectoriales y transformaciones lineales. En este artículo aprenderás qué es un vector, cómo se representa, y cómo realizar sus operaciones básicas paso a paso.

¿Qué aprenderás en este artículo?

• La idea intuitiva detrás de un vector (magnitud y dirección).
• La definición matemática formal de un vector.
• Cómo se representan sus componentes.
• Las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación por escalar y magnitud.
• Tres ejemplos resueltos paso a paso, de básico a avanzado.
• Ejercicios propuestos con soluciones para practicar.

Explicación intuitiva: ¿qué es un vector?

Piensa en las indicaciones que le darías a alguien para llegar a un lugar: "camina 3 cuadras al este y 4 cuadras al norte". Esa instrucción tiene dos partes: una distancia (qué tan lejos) y una dirección (hacia dónde). Eso es exactamente un vector: una cantidad que no solo tiene un tamaño, sino también una dirección.

Esto lo distingue de un escalar, que es solo un número (como la temperatura o la masa, que no tienen dirección). La velocidad de un auto, por ejemplo, es un vector: no basta con decir "80 km/h", también importa hacia dónde se mueve.

Idea clave: un vector combina magnitud (tamaño) y dirección; un escalar es solo un número, sin dirección.

Definición matemática formal

Un vector en el plano (\(\mathbb{R}^2\)) o en el espacio (\(\mathbb{R}^3\)) se representa como un conjunto ordenado de componentes:

\[ \vec{u} = (u_1, u_2) \quad \text{o bien} \quad \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) \]

Geométricamente, se dibuja como una flecha que va desde un punto de origen hasta un punto final, aunque en la práctica dos vectores con las mismas componentes se consideran el mismo vector, sin importar en qué parte del plano estén dibujados.

Explicación de cada componente

• \(\vec{u}\): el vector completo (se denota con una flecha o en negrita).
• \(u_1, u_2\) (o \(u_3\)): las componentes del vector en cada eje (x, y, z).
• Magnitud o norma \(|\vec{u}|\): el "tamaño" del vector, es decir, la longitud de la flecha.
• Vector unitario: un vector con magnitud igual a 1, que conserva solo la dirección.

Operaciones básicas con vectores

Suma de vectores

Se suman componente a componente:

\[ \vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1,\ u_2 + v_2) \]

Resta de vectores

\[ \vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1,\ u_2 - v_2) \]

Multiplicación por un escalar

Multiplicar un vector por un número \(k\) escala cada componente (cambia su tamaño, y si \(k<0\), invierte su dirección):

\[ k\vec{u} = (k\,u_1,\ k\,u_2) \]

Magnitud (norma) de un vector

Se calcula con el teorema de Pitágoras generalizado:

\[ |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2} \]

Ejemplo 1 (nivel básico): suma de vectores

Sean \(\vec{u} = (3, 4)\) y \(\vec{v} = (-1, 2)\). Calcula \(\vec{u} + \vec{v}\).

Paso 1. Sumamos componente a componente:

\[ \vec{u} + \vec{v} = (3 + (-1),\ 4 + 2) \]

Resultado: \( \vec{u} + \vec{v} = (2, 6) \).

Ejemplo 2 (nivel intermedio): magnitud y vector unitario

Con \(\vec{u} = (3, 4)\), calcula su magnitud y su vector unitario.

Paso 1. Calculamos la magnitud con el teorema de Pitágoras:

\[ |\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \]

Paso 2. El vector unitario se obtiene dividiendo cada componente entre la magnitud:

\[ \hat{u} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \left(\frac{3}{5},\ \frac{4}{5}\right) \]

Resultado: \( |\vec{u}| = 5 \) y \( \hat{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) \).

Ejemplo 3 (nivel avanzado): combinación de operaciones

Con \(\vec{u} = (3, 4)\) y \(\vec{v} = (-1, 2)\), calcula \(|2\vec{u} - 3\vec{v}|\).

Paso 1. Multiplicamos cada vector por su escalar:

\[ 2\vec{u} = (6, 8) \qquad 3\vec{v} = (-3, 6) \]

Paso 2. Restamos componente a componente:

\[ 2\vec{u} - 3\vec{v} = (6-(-3),\ 8-6) = (9, 2) \]

Paso 3. Calculamos la magnitud del vector resultante:

\[ |2\vec{u} - 3\vec{v}| = \sqrt{9^2 + 2^2} = \sqrt{81+4} = \sqrt{85} \]

Resultado: \( |2\vec{u} - 3\vec{v}| = \sqrt{85} \approx 9.22 \).

Errores comunes al trabajar con vectores

• Confundir vector con punto. Un punto es una ubicación; un vector es un desplazamiento (magnitud y dirección), aunque ambos se escriban con números entre paréntesis.
• Sumar magnitudes en lugar de componentes. No se puede sumar \(|\vec{u}|+|\vec{v}|\) para obtener \(|\vec{u}+\vec{v}|\); hay que sumar primero las componentes y luego calcular la magnitud del resultado.
• Olvidar el signo al multiplicar por un escalar negativo. Multiplicar por \(-1\) invierte la dirección del vector, no solo cambia su tamaño.
• Mezclar dimensiones. No se pueden sumar directamente un vector de \(\mathbb{R}^2\) con uno de \(\mathbb{R}^3\); deben tener la misma cantidad de componentes.

Resumen de las ideas principales

• Un vector tiene magnitud y dirección; un escalar es solo un número.
• La suma, resta y multiplicación por escalar se realizan componente a componente.
• La magnitud de un vector se calcula con el teorema de Pitágoras generalizado.
• Un vector unitario conserva la dirección del vector original, pero con magnitud 1.

Ejercicios propuestos

1. Calcula la magnitud de \(\vec{w} = (5, -12)\).
2. Sean \(\vec{a} = (2, 3)\) y \(\vec{b} = (4, -1)\). Calcula \(\vec{a} + \vec{b}\).
3. Con los mismos \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\), calcula \(\vec{a} - \vec{b}\).
4. Calcula la magnitud de \(\vec{c} = (1, 2, 2)\) en \(\mathbb{R}^3\).
5. Calcula el vector unitario de \(\vec{u} = (3, 4)\).

Soluciones

1. \( |\vec{w}| = \sqrt{5^2+(-12)^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13 \)
2. \( \vec{a}+\vec{b} = (2+4,\ 3+(-1)) = (6, 2) \)
3. \( \vec{a}-\vec{b} = (2-4,\ 3-(-1)) = (-2, 4) \)
4. \( |\vec{c}| = \sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3 \)
5. \( \hat{u} = \left(\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}\right) \) (magnitud ya calculada en el ejemplo 2)

Preguntas frecuentes

¿Un vector y un punto son lo mismo?

No. Un punto indica una posición fija en el espacio; un vector indica un desplazamiento, con magnitud y dirección, independientemente de dónde se dibuje.

¿Qué significa que un vector sea unitario?

Que su magnitud es exactamente 1. Se obtiene dividiendo cada componente del vector original entre su propia magnitud, y se usa mucho para representar solo la dirección de un vector, sin su tamaño.

¿Los vectores solo existen en el plano?

No. Aunque en este artículo trabajamos principalmente en \(\mathbb{R}^2\), los vectores pueden tener 3, 4 o más componentes (\(\mathbb{R}^3\), \(\mathbb{R}^n\)), y las mismas operaciones básicas se generalizan de la misma forma, componente a componente.