∫ Cálculo Integral
Áreas y Volúmenes de Revolución con Integrales: Método del Disco, Arandela y Capas
Aprende a calcular áreas entre curvas y volúmenes de sólidos de revolución usando integrales definidas. Método del disco, arandela y capas cilíndricas. Ejercicios resueltos paso a paso para universitarios.
1Área entre dos curvas
Área entre f(x) y g(x) en [a, b]
A = ∫ₐᵇ |f(x) - g(x)| dx
Si f(x) ≥ g(x) en [a,b]: A = ∫ₐᵇ [f(x) - g(x)] dx
Si f(x) ≥ g(x) en [a,b]: A = ∫ₐᵇ [f(x) - g(x)] dx
Si las curvas se cruzan hay que dividir el intervalo en subintervalos donde una siempre esté encima.
Ejemplo 1
Área entre parábola y recta
Área entre f(x) = x² y g(x) = x + 2
Solución
// Paso 1: Encontrar intersecciones x² = x + 2 → x² - x - 2 = 0 → (x-2)(x+1) = 0 Intersecciones: x = -1 y x = 2 // Paso 2: ¿Cuál está encima? Probar x=0: f(0) = 0, g(0) = 2 → g(x) > f(x) en [-1, 2] // Paso 3: Calcular el área A = ∫₋₁² [(x+2) - x²] dx = ∫₋₁² [-x² + x + 2] dx = [-x³/3 + x²/2 + 2x]₋₁² = [-8/3 + 2 + 4] - [1/3 + 1/2 - 2] = [-8/3 + 6] - [1/3 + 1/2 - 2] = (-8/3 + 18/3) - (2/6 + 3/6 - 12/6) = 10/3 - (-7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2 = 4.5 u²
A = 9/2 = 4.5 unidades cuadradas
2Método del disco (rotación eje x)
Al girar la región bajo f(x) alrededor del eje x, cada sección transversal es un disco circular de radio f(x).
Volumen por el método del disco
V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx
Área del disco = πr² = π[f(x)]², integrar da el volumen acumulado
Ejemplo 2
Volumen de un cono
Rotar f(x) = x/2 en [0, 4] alrededor del eje x. Calcular el volumen.
Método del disco
V = π ∫₀⁴ (x/2)² dx = π ∫₀⁴ x²/4 dx = π · [x³/12]₀⁴ = π · (64/12 - 0) = π · 16/3 = 16π/3 ≈ 16.76 u³ // Verificación: cono con r=2, h=4 → V=(1/3)πr²h = (1/3)π(4)(4) = 16π/3 ✓
V = 16π/3 ≈ 16.76 unidades cúbicas
3Método de la arandela
Cuando se gira la región entre dos curvas, la sección transversal es una arandela (disco con hueco).
Volumen por el método de la arandela
V = π ∫ₐᵇ {[R(x)]² - [r(x)]²} dx
R(x) = radio exterior (curva superior)
r(x) = radio interior (curva inferior)
R(x) = radio exterior (curva superior)
r(x) = radio interior (curva inferior)
Ejemplo 3
Volumen con método de arandela
Girar la región entre y = √x y y = x alrededor del eje x en [0, 1]
Solución
// En [0,1]: √x ≥ x → R(x) = √x, r(x) = x V = π ∫₀¹ [(√x)² - x²] dx = π ∫₀¹ [x - x²] dx = π [x²/2 - x³/3]₀¹ = π (1/2 - 1/3) = π · 1/6 = π/6 ≈ 0.524 u³
V = π/6 ≈ 0.524 unidades cúbicas
4Rotación alrededor del eje y
Para girar alrededor del eje y, es necesario expresar x en función de y, o usar el método de las capas.
Ejemplo 4
Rotación alrededor del eje y
Girar y = x² en [0, 2] alrededor del eje y
Cambio de variable: x = √y
// y = x² → x = √y, cuando x∈[0,2] → y∈[0,4] V = π ∫₀⁴ (√y)² dy = π ∫₀⁴ y dy = π [y²/2]₀⁴ = π · 8 = 8π ≈ 25.13 u³
V = 8π ≈ 25.13 unidades cúbicas
5Método de las capas cilíndricas
Alternativa al disco: imaginar cortes verticales que al rotar generan cilindros huecos (capas).
Volumen por capas (rotación eje y)
V = 2π ∫ₐᵇ x · f(x) dx
Cada capa tiene: circunferencia = 2πx, altura = f(x), espesor = dx
Ejemplo 5
Capas cilíndricas — mismo problema que el Ejemplo 4
Girar y = x² en [0, 2] alrededor del eje y (verificación)
Método de las capas
V = 2π ∫₀² x · x² dx = 2π ∫₀² x³ dx = 2π [x⁴/4]₀² = 2π · 4 = 8π ✓ // Mismo resultado que el método del disco — verificado
V = 8π (ambos métodos coinciden ✓)
6Longitud de arco
Longitud de arco de f(x) en [a, b]
L = ∫ₐᵇ √{1 + [f'(x)]²} dx
Ejemplo 6
Longitud de un arco de parábola
Longitud de y = x²/2 en [0, 1]
Solución
f'(x) = x → [f'(x)]² = x² L = ∫₀¹ √(1+x²) dx // Sustitución trigonométrica: x = tan(θ) // √(1+x²) = sec(θ), dx = sec²(θ)dθ L = [x√(1+x²)/2 + ln|x+√(1+x²)|/2]₀¹ = [√2/2 + ln(1+√2)/2] - 0 ≈ [0.7071 + 0.4412] = ≈ 1.148 u
L ≈ 1.148 unidades
7🏋 Ejercicios resueltos completos
Ejercicio 1 — Área entre curvas
Área entre y = sen(x) y y = cos(x) en [0, π/2]
Con cambio de orden de integración
// En [0, π/4]: cos(x) ≥ sen(x) // En [π/4, π/2]: sen(x) ≥ cos(x) A = ∫₀^(π/4) [cos(x)-sen(x)] dx + ∫_(π/4)^(π/2) [sen(x)-cos(x)] dx = [sen(x)+cos(x)]₀^(π/4) + [-cos(x)-sen(x)]_(π/4)^(π/2) = [(√2/2+√2/2)-(0+1)] + [(-0-1)-(-√2/2-√2/2)] = [√2 - 1] + [-1 + √2] = 2√2 - 2 ≈ 0.828 u²
A = 2√2 - 2 ≈ 0.828 unidades cuadradas
Ejercicio 2 — Volumen esfera
Demostrar que el volumen de una esfera de radio R es (4/3)πR³
Girar semicírculo y = √(R²-x²) alrededor del eje x
V = π ∫₋ᴿᴿ (√(R²-x²))² dx
= π ∫₋ᴿᴿ (R² - x²) dx
= π [R²x - x³/3]₋ᴿᴿ
= π [(R³ - R³/3) - (-R³ + R³/3)]
= π [2R³ - 2R³/3]
= π · 4R³/3 = (4/3)πR³ ✓
V = (4/3)πR³ — fórmula de la esfera verificada por integrales
📐 ¿Dominaste áreas y volúmenes?
Estas aplicaciones conectan el cálculo con la geometría 3D. ¡Practica y deja tus dudas en comentarios!
- Técnicas de integración: fracciones parciales
- Integrales impropias: convergencia y divergencia
- Regla de L'Hôpital: formas indeterminadas
Comentarios
Publicar un comentario