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Valores y Vectores Propios (Eigenvalores): Cálculo Completo con Ejercicios Resueltos

Aprende a calcular eigenvalores y eigenvectores de matrices. Polinomio característico, cómo encontrar vectores propios, diagonalización y aplicaciones. Ejercicios resueltos paso a paso.

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 Contenido

1. ¿Qué son los valores y vectores propios?
2. Polinomio característico
3. Encontrar eigenvalores — 2×2
4. Encontrar eigenvectores
5. Eigenvalores de matrices 3×3
6. Propiedades importantes
7. Diagonalización de matrices
8. Ejercicios resueltos

1¿Qué son los valores y vectores propios?

Dada una matriz cuadrada A, un vector propio (eigenvector) v ≠ 0 es aquel que al multiplicarse por A solo cambia de escala, no de dirección. El factor de escala es el valor propio (eigenvalor) λ.

Definición fundamental

A · v = λ · v

v ≠ 0 : eigenvector
λ ∈ ℝ (o ℂ) : eigenvalor asociado

Interpretación geométrica: v es una dirección que la transformación A no rota, solo estira/comprime por λ

 Aplicaciones de eigenvalores

Análisis de componentes principales (PCA), vibración de estructuras, estabilidad de sistemas dinámicos, Google PageRank, compresión de imágenes, ecuaciones diferenciales y mecánica cuántica.

2Polinomio característico

Para encontrar eigenvalores reformulamos la ecuación Av = λv:

Ecuación característica

Av = λv
Av - λv = 0
(A - λI)v = 0

Para que tenga solución v ≠ 0:
det(A - λI) = 0 ← ecuación característica

p(λ) = det(A-λI) es el polinomio característico. Sus raíces son los eigenvalores.

3Encontrar eigenvalores — 2×2

Ejemplo 1

Eigenvalores de una matriz 2×2

A = [[4, 1], [2, 3]]

Polinomio característico

// det(A - λI) = 0
A - λI = [[4-λ, 1  ],
          [2,   3-λ]]

det(A-λI) = (4-λ)(3-λ) - (1)(2)
          = 12 - 4λ - 3λ + λ² - 2
          = λ² - 7λ + 10
          = (λ - 5)(λ - 2) = 0

λ₁ = 5,   λ₂ = 2

Eigenvalores: λ₁ = 5 y λ₂ = 2

4Encontrar eigenvectores

Para cada eigenvalor λᵢ, resolvemos el sistema homogéneo (A − λᵢI)v = 0.

Continuación Ejemplo 1

Eigenvectores para λ₁=5 y λ₂=2

A = [[4,1],[2,3]], λ₁=5, λ₂=2

Para cada eigenvalor

// EIGENVECTOR para λ₁ = 5:
(A - 5I)v = 0  →  [[-1, 1],[2, -2]] v = 0

Fila 1:  -v₁ + v₂ = 0  →  v₁ = v₂
// v₂ libre → v₂ = t
v₁ = [[1], [1]] (tomar t=1)
Eigenvector para λ=5:  v₁ = (1, 1)

// EIGENVECTOR para λ₂ = 2:
(A - 2I)v = 0  →  [[2, 1],[2, 1]] v = 0

Fila 1: 2v₁ + v₂ = 0  →  v₂ = -2v₁
// v₁ libre → v₁ = t
v₂ = [[1], [-2]] (tomar t=1)
Eigenvector para λ=2:  v₂ = (1, -2)

v₁=(1,1) para λ=5    v₂=(1,-2) para λ=2

5Eigenvalores de matrices 3×3

Ejemplo 2

Matriz triangular superior (caso fácil)

A = [[ 3, 1, 0], [ 0, 2, 4], [ 0, 0, 5]]

Matrices triangulares

// Para matrices triangulares: eigenvalores = elementos de la diagonal
det(A - λI) = (3-λ)(2-λ)(5-λ) = 0

λ₁ = 3,  λ₂ = 2,  λ₃ = 5

// Regla: los eigenvalores de una matriz triangular son su diagonal

λ₁=3, λ₂=2, λ₃=5 (iguales a los elementos de la diagonal)

Ejemplo 3 — 3×3 general

A = [[2, 0, 0], [0, 3, 4], [0, 4, 3]]

Expansión por cofactores

det(A-λI) = (2-λ)·det([[3-λ, 4],[4, 3-λ]])
          = (2-λ)[(3-λ)²-16]
          = (2-λ)[9-6λ+λ²-16]
          = (2-λ)(λ²-6λ-7)
          = (2-λ)(λ-7)(λ+1) = 0

λ₁ = 2,  λ₂ = 7,  λ₃ = -1

λ₁=2, λ₂=7, λ₃=-1

6Propiedades importantes

Propiedad	Fórmula
Traza = suma de eigenvalores	tr(A) = λ₁ + λ₂ + ... + λₙ
Determinante = producto de eigenvalores	det(A) = λ₁·λ₂·...·λₙ
A invertible ↔ ningún eigenvalor es 0	det(A) ≠ 0 ↔ 0 ∉ {λ}
Eigenvalores de A^k	λ¹, λ², ..., λᵏ
Eigenvalores de A⁻¹	1/λ₁, 1/λ₂, ..., 1/λₙ
Eigenvalores de A^T	mismos que A

7Diagonalización de matrices

Una matriz A de n×n es diagonalizable si tiene n eigenvectores linealmente independientes. En ese caso: A = PDP⁻¹

Diagonalización

A = P D P⁻¹

D = diag(λ₁, λ₂, ..., λₙ) ← diagonal con eigenvalores
P = [v₁ | v₂ | ... | vₙ] ← columnas son eigenvectores

Aplicación: A^k = P D^k P⁻¹ (calcular potencias es trivial con D diagonal)

8 Ejercicios resueltos completos

Ejercicio 1 — Proceso completo 2×2

A = [[5, -2], [1, 2]] Hallar eigenvalores, eigenvectores y diagonalizar

Solución completa

// Polinomio característico:
det(A-λI) = (5-λ)(2-λ) - (-2)(1)
          = λ² - 7λ + 10 + 2 = λ² - 7λ + 12
          = (λ-3)(λ-4) = 0
λ₁ = 3,  λ₂ = 4

// Eigenvector para λ₁=3:
(A-3I)v = [[2,-2],[1,-1]]v = 0
→ 2v₁ - 2v₂ = 0 → v₁ = v₂
v₁ = (1, 1)

// Eigenvector para λ₂=4:
(A-4I)v = [[1,-2],[1,-2]]v = 0
→ v₁ - 2v₂ = 0 → v₁ = 2v₂
v₂ = (2, 1)

// Diagonalización A = PDP⁻¹:
P = [[1,2],[1,1]]
D = [[3,0],[0,4]]

// Verificar: A·v₁ = [[5,-2],[1,2]]·[1,1] = [3,3] = 3·[1,1] ✓
// Verificar: A·v₂ = [[5,-2],[1,2]]·[2,1] = [8,4] = 4·[2,1] ✓

λ=3 → v=(1,1)   λ=4 → v=(2,1)   A = PDP⁻¹ diagonalizable

Ejercicio 2 — Eigenvalores complejos

A = [[0, -1], [1, 0]] (matriz de rotación 90°)

Eigenvalores complejos

det(A-λI) = (-λ)(-λ) - (-1)(1) = λ² + 1 = 0
λ₁ = i,  λ₂ = -i  (complejos conjugados)

// Una rotación pura no tiene dirección invariante en ℝ²
// Sus eigenvalores son siempre complejos (no reales)
// Nota: tr(A) = 0 = i + (-i) ✓  det(A) = 1 = i·(-i) ✓

λ = ±i — la rotación pura tiene eigenvalores complejos (sin dirección real invariante)

피 ¿Dominaste eigenvalores y eigenvectores?

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