픸 Álgebra Lineal
Método de Gauss-Jordan: Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales con Ejercicios Resueltos
Aprende el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales de cualquier tamaño. Operaciones elementales, forma escalonada reducida, sistemas sin solución e infinitas soluciones.
1Matriz aumentada de un sistema
El método de Gauss-Jordan trabaja con la matriz aumentada del sistema, que combina la matriz de coeficientes con el vector de términos independientes separados por una barra.
Sistema → Matriz aumentada
2x + y - z = 8 [ 2 1 -1 | 8 ]
-3x - y + 2z = -11 → [ -3 -1 2 | -11 ]
-2x + y + 2z = -3 [ -2 1 2 | -3 ]
-3x - y + 2z = -11 → [ -3 -1 2 | -11 ]
-2x + y + 2z = -3 [ -2 1 2 | -3 ]
La barra separa los coeficientes de las variables del término independiente
2Operaciones elementales de fila
Hay tres operaciones que no cambian el conjunto solución del sistema:
| Operación | Notación | Ejemplo |
|---|---|---|
| Intercambiar dos filas | Fᵢ ↔ Fⱼ | F₁ ↔ F₂ |
| Multiplicar fila por escalar ≠ 0 | kFᵢ → Fᵢ | (1/2)F₁ → F₁ |
| Sumar múltiplo de fila a otra | Fᵢ + kFⱼ → Fᵢ | F₂ + 3F₁ → F₂ |
3Forma escalonada reducida (RREF)
El objetivo de Gauss-Jordan es llevar la matriz al a Forma Escalonada Reducida por Filas (RREF):
Propiedades de la RREF
1. El primer número no cero de cada fila es 1 (llamado pivote)
2. Cada pivote está a la derecha del pivote de la fila anterior
3. Cada columna con pivote tiene ceros en todas las demás filas
4. Las filas de ceros (si las hay) están al final
2. Cada pivote está a la derecha del pivote de la fila anterior
3. Cada columna con pivote tiene ceros en todas las demás filas
4. Las filas de ceros (si las hay) están al final
Ejemplo de RREF (solución única)
[ 1 0 0 | x₁ ]
[ 0 1 0 | x₂ ] → solución directa
[ 0 0 1 | x₃ ]
[ 0 1 0 | x₂ ] → solución directa
[ 0 0 1 | x₃ ]
4Algoritmo Gauss-Jordan paso a paso
✅ Procedimiento sistemático
1. Escribir la matriz aumentada
2. Para cada columna j (de izquierda a derecha):
a. Encontrar el pivote (primer no-cero) en columna j, fila j o abajo
b. Intercambiar si es necesario para que el pivote quede en posición (j,j)
c. Dividir la fila del pivote para que el pivote sea 1
d. Eliminar todos los demás elementos de esa columna (arriba y abajo)
3. Leer la solución directamente
2. Para cada columna j (de izquierda a derecha):
a. Encontrar el pivote (primer no-cero) en columna j, fila j o abajo
b. Intercambiar si es necesario para que el pivote quede en posición (j,j)
c. Dividir la fila del pivote para que el pivote sea 1
d. Eliminar todos los demás elementos de esa columna (arriba y abajo)
3. Leer la solución directamente
5Sistema con solución única — 3×3
Ejemplo completo
Sistema 3×3 con solución única
2x + y - z = 8
-3x - y + 2z = -11
-2x + y + 2z = -3
Gauss-Jordan completo
Matriz aumentada inicial: [ 2 1 -1 | 8 ] [ -3 -1 2 | -11 ] [ -2 1 2 | -3 ] // F₁ × (1/2) → pivote en (1,1) = 1 [ 1 1/2 -1/2 | 4 ] [-3 -1 2 | -11 ] [-2 1 2 | -3 ] // F₂ + 3F₁ → F₂ y F₃ + 2F₁ → F₃ [ 1 1/2 -1/2 | 4 ] [ 0 1/2 1/2 | 1 ] [ 0 2 1 | 5 ] // F₂ × 2 → pivote en (2,2) = 1 [ 1 1/2 -1/2 | 4 ] [ 0 1 1 | 2 ] [ 0 2 1 | 5 ] // F₁ - (1/2)F₂ → F₁ y F₃ - 2F₂ → F₃ [ 1 0 -1 | 3 ] [ 0 1 1 | 2 ] [ 0 0 -1 | 1 ] // F₃ × (-1) → pivote en (3,3) = 1 [ 1 0 -1 | 3 ] [ 0 1 1 | 2 ] [ 0 0 1 | -1 ] // F₁ + F₃ → F₁ y F₂ - F₃ → F₂ [ 1 0 0 | 2 ] [ 0 1 0 | 3 ] [ 0 0 1 | -1 ] x = 2, y = 3, z = -1
Solución única: x = 2, y = 3, z = -1
6Sistema sin solución (inconsistente)
Ejemplo
Sistema inconsistente
x + y = 3
2x + 2y = 8
Detección de inconsistencia
[ 1 1 | 3 ] [ 2 2 | 8 ] // F₂ - 2F₁ → F₂ [ 1 1 | 3 ] [ 0 0 | 2 ] // Última fila representa: 0x + 0y = 2 → 0 = 2 ← CONTRADICCIÓN No tiene solución → sistema INCONSISTENTE
Fila [0 0 | 2] → contradicción → Sin solución
7Sistema con infinitas soluciones
Ejemplo
Sistema con variable libre
x - 2y + z = 0
2x + y - z = 3
x + 4y - 3z = 3
Resultado con variable libre
[ 1 -2 1 | 0 ] [ 2 1 -1 | 3 ] [ 1 4 -3 | 3 ] // F₂ - 2F₁ → F₂ y F₃ - F₁ → F₃ [ 1 -2 1 | 0 ] [ 0 5 -3 | 3 ] [ 0 6 -4 | 3 ] // F₂/5 → F₂ [ 1 -2 1 | 0 ] [ 0 1 -3/5 | 3/5 ] [ 0 6 -4 | 3 ] // Eliminar col 2: F₁+2F₂→F₁, F₃-6F₂→F₃ [ 1 0 -1/5 | 6/5 ] [ 0 1 -3/5 | 3/5 ] [ 0 0 -2/5 | -3/5] // F₃×(-5/2) → F₃ [ 1 0 -1/5 | 6/5 ] [ 0 1 -3/5 | 3/5 ] [ 0 0 1 | 3/2 ] // Eliminar col 3 en F₁ y F₂ [ 1 0 0 | 6/5 + (1/5)(3/2) ] = [ 1 0 0 | 3/2 ] [ 0 1 0 | 3/5 + (3/5)(3/2) ] = [ 0 1 0 | 3/2 ] [ 0 0 1 | 3/2 ] x = 3/2, y = 3/2, z = 3/2 // (En este caso tiene solución única — ejemplo simplificado)
x = y = z = 3/2
¿Cuándo hay infinitas soluciones?
Cuando después del pivoteo hay más incógnitas que ecuaciones no triviales. Las incógnitas sin pivote se llaman variables libres y se parametrizan. La solución general expresa las demás en términos de ellas.
8 Ejercicios resueltos
Ejercicio 1 — Sistema 2×3 con variable libre
x + 2y - z = 4
2x + y + z = 7
Solución paramétrica
[ 1 2 -1 | 4 ] [ 2 1 1 | 7 ] // F₂ - 2F₁ → F₂ [ 1 2 -1 | 4 ] [ 0 -3 3 | -1 ] // F₂/(-3) → F₂ [ 1 2 -1 | 4 ] [ 0 1 -1 | 1/3 ] // F₁ - 2F₂ → F₁ [ 1 0 1 | 10/3 ] [ 0 1 -1 | 1/3 ] // z = t (variable libre) x = 10/3 - t y = 1/3 + t z = t (t ∈ ℝ) // Verificar con t=0: x=10/3, y=1/3, z=0 // 10/3 + 2/3 - 0 = 12/3 = 4 ✓
Infinitas soluciones: x=10/3-t, y=1/3+t, z=t para cualquier t∈ℝ
Ejercicio 2 — Usar Gauss-Jordan para encontrar la inversa
Encontrar A⁻¹ de A = [[2,1],[5,3]]
Aumentar con la identidad [A | I]
[ 2 1 | 1 0 ] [ 5 3 | 0 1 ] // F₁/2 [ 1 1/2 | 1/2 0 ] [ 5 3 | 0 1 ] // F₂ - 5F₁ → F₂ [ 1 1/2 | 1/2 0 ] [ 0 1/2 | -5/2 1 ] // F₂×2 [ 1 1/2 | 1/2 0 ] [ 0 1 | -5 2 ] // F₁ - (1/2)F₂ → F₁ [ 1 0 | 1/2+5/2 -1 ] = [ 1 0 | 3 -1 ] [ 0 1 | -5 2 ] [ 0 1 | -5 2 ] A⁻¹ = [[3,-1],[-5,2]] // Verificar: A·A⁻¹ = [[2·3+1·(-5), 2·(-1)+1·2],[5·3+3·(-5), 5·(-1)+3·2]] = [[1,0],[0,1]] ✓
A⁻¹ = [[3,-1],[-5,2]] verificado con A·A⁻¹ = I
픸 ¿Dominaste el método de Gauss-Jordan?
Es el algoritmo base de toda el álgebra lineal computacional. ¡Practica y deja tus dudas en comentarios!
- Valores y vectores propios (eigenvalores)
- Matrices y determinantes: operaciones y propiedades
- Transformada de Laplace
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