Ir al contenido principal

Sucesiones y Series Numéricas: Convergencia, Criterios y Ejercicios Resueltos

∑ Series Numéricas

Sucesiones y Series Numéricas: Convergencia, Criterios y Ejercicios Resueltos

Aprende a determinar si una serie numérica converge o diverge. Series geométricas, armónicas, p-series, criterios de la integral, razón, raíz y comparación. Ejercicios universitarios resueltos.

⏱ 22 min  Cálculo II/III  Ejercicios resueltos  Universitario

1Sucesiones: límite y convergencia

Una sucesión {aₙ} es una lista ordenada infinita de números. Converge si existe lim(n→∞) aₙ = L finito.

Ejemplos de sucesiones
aₙ = 1/n → límite = 0 (CONVERGE) bₙ = n²/(n+1) → límite = ∞ (DIVERGE) cₙ = (-1)ⁿ/n → límite = 0 (CONVERGE) dₙ = (-1)ⁿ → no existe límite (DIVERGE)

2¿Qué es una serie numérica?

Una serie es la suma de todos los términos de una sucesión: ∑ aₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ...

Definición de convergencia de una serie
Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ ← suma parcial n-ésima

La serie converge si lim(n→∞) Sₙ = S (finito)
La serie diverge si el límite es ±∞ o no existe

3Serie geométrica

Serie geométrica ∑ arⁿ
∑₀^∞ arⁿ = a/(1-r) si |r| < 1
DIVERGE si |r| ≥ 1
Ejemplos
∑ (1/2)ⁿ = 1/(1-1/2) = 2 (r=1/2 → converge) ∑ (2/3)ⁿ = 1/(1-2/3) = 3 (r=2/3 → converge) ∑ 1.1ⁿ → DIVERGE (r=1.1 > 1) ∑ (-1)ⁿ → DIVERGE (|r|=1)

4Condición necesaria de convergencia

⚠️ Test del término general (condición necesaria)
Si ∑ aₙ converge, entonces lim aₙ = 0

Contrarrecíproco: Si lim aₙ ≠ 0, entonces ∑ aₙ DIVERGE

CUIDADO: el recíproco es FALSO. lim aₙ = 0 NO garantiza convergencia (serie armónica ∑1/n).

5Criterios de convergencia

CriterioCondición convergeCondición diverge
Integral∫₁^∞ f(x)dx converge∫₁^∞ f(x)dx diverge
Razón (D'Alembert)lim |aₙ₊₁/aₙ| < 1lim |aₙ₊₁/aₙ| > 1
Raíz (Cauchy)lim |aₙ|^(1/n) < 1lim |aₙ|^(1/n) > 1
Comparación directaaₙ ≤ bₙ y ∑bₙ convergeaₙ ≥ bₙ y ∑bₙ diverge
Comparación límitelim aₙ/bₙ = L > 0, mismaconvergencia que ∑bₙ
Criterio de la razón
∑ n!/3ⁿ
Criterio de D'Alembert
aₙ = n!/3ⁿ

|aₙ₊₁/aₙ| = [(n+1)!/3^(n+1)] / [n!/3ⁿ]
           = (n+1)! · 3ⁿ / (n! · 3^(n+1))
           = (n+1)/3

lim(n→∞) (n+1)/3 = ∞ > 1

DIVERGE por el criterio de la razón
∑ n!/3ⁿ DIVERGE (la razón tiende a ∞)
Criterio de la razón — converge
∑ n/2ⁿ
Criterio de la razón
|aₙ₊₁/aₙ| = [(n+1)/2^(n+1)] / [n/2ⁿ]
           = (n+1)·2ⁿ / (n·2^(n+1))
           = (n+1)/(2n)

lim(n→∞) (n+1)/(2n) = 1/2 < 1

CONVERGE por el criterio de la razón

// Valor exacto: ∑ n/2ⁿ = 2  (usando series de potencias derivadas)
∑ n/2ⁿ CONVERGE y suma = 2

6Series de alternación

Criterio de Leibniz (series alternantes)
∑ (-1)ⁿaₙ converge si:
1. aₙ > 0 para todo n
2. aₙ es decreciente: aₙ₊₁ ≤ aₙ
3. lim aₙ = 0
Ejemplo — Serie armónica alternante
∑ (-1)^(n+1)/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...
Criterio de Leibniz
aₙ = 1/n

1. aₙ = 1/n > 0  ✓
2. 1/(n+1) ≤ 1/n  ✓ (decreciente)
3. lim 1/n = 0   ✓

CONVERGE por criterio de Leibniz
// Valor exacto: ∑ (-1)^(n+1)/n = ln(2) ≈ 0.693
CONVERGE y suma = ln(2) ≈ 0.693

7 Ejercicios resueltos

Ejercicio 1
Determinar convergencia de ∑ 1/(n²+1)
Comparación con p-serie
// Comparar con ∑ 1/n²  (converge, p=2 > 1)
Para todo n ≥ 1:  n²+1 > n²  →  1/(n²+1) < 1/n²

Por comparación directa, como ∑1/n² converge,
∑ 1/(n²+1) CONVERGE
CONVERGE por comparación con ∑1/n²
Ejercicio 2
Determinar convergencia de ∑ (3n²+1)/(5n³-2n)
Comparación límite
// El comportamiento dominante es n²/n³ = 1/n → comparar con ∑1/n
lim [aₙ / (1/n)] = lim n·(3n²+1)/(5n³-2n)
                 = lim (3n³+n)/(5n³-2n)
                 = 3/5 > 0

// ∑1/n diverge (serie armónica)
Por comparación límite: ∑ (3n²+1)/(5n³-2n) DIVERGE
DIVERGE (se comporta como la serie armónica)
Ejercicio 3 — Criterio de la raíz
∑ (2n/(3n+1))ⁿ
Criterio de Cauchy
lim |aₙ|^(1/n) = lim [(2n/(3n+1))ⁿ]^(1/n)
               = lim 2n/(3n+1)
               = 2/3 < 1

CONVERGE por criterio de la raíz
CONVERGE (criterio de la raíz: 2/3 < 1)

∑ ¿Dominaste sucesiones y series?

Las series numéricas son la puerta a las series de potencias y funciones. ¡Practica y deja tus dudas!

Series numéricasConvergenciaCriterio razónSerie geométrica
 Continúa aprendiendo
Labels:

Comentarios

Publicar un comentario

Entradas populares de este blog

Introducción a los Conjuntos - Conceptos, Ejemplos y Aplicaciones

Introducción a los Conjuntos El concepto de conjunto es fundamental en matemáticas y se refiere a una colección de objetos bien definidos. En este artículo, exploraremos la definición de conjunto, su historia, propiedades y operaciones básicas, complementados con ejemplos prácticos y aplicaciones. ¿Qué es un Conjunto? Un conjunto es una colección de objetos, conocidos como elementos del conjunto. Los conjuntos pueden definirse de dos maneras: Extensión: Enumerando explícitamente todos sus elementos. Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4} . Comprensión: Definiendo una propiedad común que todos sus elementos cumplen. Ejemplo: B = {x | x es un número par} . Ejemplos de conjuntos: A = {Laura, Gabriela, Diana} B = {Cuadrado, Rectángulo, Rombo, Trapecio} C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} D = {x | x es un estudiante activo de la UN} Conjuntos Determinados por Extensión y Comprensión Cuando u...
Publicar un comentario
Read more »

Introducción a los Sistemas Numéricos - Conceptos y Ejemplos

Introducción a los Sistemas Numéricos Los sistemas numéricos son fundamentales en las matemáticas y abarcan diversas categorías de números utilizados para contar, medir y calcular. En este artículo, exploraremos los diferentes tipos de números, sus propiedades y ejemplos prácticos, así como sus aplicaciones en distintas áreas. Números Naturales Los números naturales son los más básicos y fueron creados por la mente humana para contar objetos. Se denotan como N y generalmente incluyen el cero: Definición: N = {0, 1, 2, 3, ...} Algunas propiedades importantes de los números naturales son: Clausura: La suma y el producto de dos números naturales es siempre un número natural. Ejemplo: 3 + 4 = 7 y 2 * 3 = 6. Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c y a(bc) = (ab)c . Conmutativa: a + b = b + a y ab = ba . Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a y a * 1 = 1 * a = a . Ejemplo: Si A = {1, 2, 3} , entonces 1 + 2 = 3 ...
Publicar un comentario
Read more »

Introducción al Cálculo Diferencial

  El cálculo diferencial es una de las piedras angulares de las matemáticas y una herramienta esencial para abordar una amplia gama de problemas en ciencias e ingeniería. Nos permite comprender el cambio instantáneo de una magnitud en función de otra y es fundamental para el análisis de fenómenos físicos y naturales. En esta entrada, exploraremos los conceptos clave del cálculo diferencial y su aplicación en la física. ¿Qué es la Derivada? La derivada es el concepto central del cálculo diferencial. Representa la tasa de cambio instantáneo de una función en un punto dado. Formalmente, si tenemos una función � ( � ) f ( x ) , la derivada � ′ ( � ) f ′ ( x ) o � � � � d x d y ​ nos da el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva de � ( � ) f ( x ) en el punto � x . ¿Cómo se Calcula una Derivada? Para calcular la derivada de una función, aplicamos reglas y técnicas específicas de derivación. Algunas reglas comunes incluyen: Regla de la Potencia: Para cualquier constante...
Publicar un comentario
Read more »