∑ Series Numéricas

Sucesiones y Series Numéricas: Convergencia, Criterios y Ejercicios Resueltos

Aprende a determinar si una serie numérica converge o diverge. Series geométricas, armónicas, p-series, criterios de la integral, razón, raíz y comparación. Ejercicios universitarios resueltos.

⏱ 22 min  Cálculo II/III  Ejercicios resueltos  Universitario

 Contenido

1. Sucesiones: límite y convergencia
2. ¿Qué es una serie numérica?
3. Serie geométrica
4. Condición necesaria de convergencia
5. Criterios de convergencia
6. Series de alternación
7. Ejercicios resueltos

1Sucesiones: límite y convergencia

Una sucesión {aₙ} es una lista ordenada infinita de números. Converge si existe lim(n→∞) aₙ = L finito.

Ejemplos de sucesiones

aₙ = 1/n → límite = 0 (CONVERGE) bₙ = n²/(n+1) → límite = ∞ (DIVERGE) cₙ = (-1)ⁿ/n → límite = 0 (CONVERGE) dₙ = (-1)ⁿ → no existe límite (DIVERGE)

2¿Qué es una serie numérica?

Una serie es la suma de todos los términos de una sucesión: ∑ aₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ...

Definición de convergencia de una serie

Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ ← suma parcial n-ésima

La serie converge si lim(n→∞) Sₙ = S (finito)
La serie diverge si el límite es ±∞ o no existe

3Serie geométrica

Serie geométrica ∑ arⁿ

∑₀^∞ arⁿ = a/(1-r) si |r| < 1
DIVERGE si |r| ≥ 1

Ejemplos

∑ (1/2)ⁿ = 1/(1-1/2) = 2 (r=1/2 → converge) ∑ (2/3)ⁿ = 1/(1-2/3) = 3 (r=2/3 → converge) ∑ 1.1ⁿ → DIVERGE (r=1.1 > 1) ∑ (-1)ⁿ → DIVERGE (|r|=1)

4Condición necesaria de convergencia

⚠️ Test del término general (condición necesaria)

Si ∑ aₙ converge, entonces lim aₙ = 0

Contrarrecíproco: Si lim aₙ ≠ 0, entonces ∑ aₙ DIVERGE

CUIDADO: el recíproco es FALSO. lim aₙ = 0 NO garantiza convergencia (serie armónica ∑1/n).

5Criterios de convergencia

Criterio	Condición converge	Condición diverge
Integral	∫₁^∞ f(x)dx converge	∫₁^∞ f(x)dx diverge
Razón (D'Alembert)	lim |aₙ₊₁/aₙ| < 1	lim |aₙ₊₁/aₙ| > 1
Raíz (Cauchy)	lim |aₙ|^(1/n) < 1	lim |aₙ|^(1/n) > 1
Comparación directa	aₙ ≤ bₙ y ∑bₙ converge	aₙ ≥ bₙ y ∑bₙ diverge
Comparación límite	lim aₙ/bₙ = L > 0, misma	convergencia que ∑bₙ

Criterio de la razón

∑ n!/3ⁿ

Criterio de D'Alembert

aₙ = n!/3ⁿ

|aₙ₊₁/aₙ| = [(n+1)!/3^(n+1)] / [n!/3ⁿ]
           = (n+1)! · 3ⁿ / (n! · 3^(n+1))
           = (n+1)/3

lim(n→∞) (n+1)/3 = ∞ > 1

DIVERGE por el criterio de la razón

∑ n!/3ⁿ DIVERGE (la razón tiende a ∞)

Criterio de la razón — converge

∑ n/2ⁿ

Criterio de la razón

|aₙ₊₁/aₙ| = [(n+1)/2^(n+1)] / [n/2ⁿ]
           = (n+1)·2ⁿ / (n·2^(n+1))
           = (n+1)/(2n)

lim(n→∞) (n+1)/(2n) = 1/2 < 1

CONVERGE por el criterio de la razón

// Valor exacto: ∑ n/2ⁿ = 2  (usando series de potencias derivadas)

∑ n/2ⁿ CONVERGE y suma = 2

6Series de alternación

Criterio de Leibniz (series alternantes)

∑ (-1)ⁿaₙ converge si:
1. aₙ > 0 para todo n
2. aₙ es decreciente: aₙ₊₁ ≤ aₙ
3. lim aₙ = 0

Ejemplo — Serie armónica alternante

∑ (-1)^(n+1)/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Criterio de Leibniz

aₙ = 1/n

1. aₙ = 1/n > 0  ✓
2. 1/(n+1) ≤ 1/n  ✓ (decreciente)
3. lim 1/n = 0   ✓

CONVERGE por criterio de Leibniz
// Valor exacto: ∑ (-1)^(n+1)/n = ln(2) ≈ 0.693

CONVERGE y suma = ln(2) ≈ 0.693

7 Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Determinar convergencia de ∑ 1/(n²+1)

Comparación con p-serie

// Comparar con ∑ 1/n²  (converge, p=2 > 1)
Para todo n ≥ 1:  n²+1 > n²  →  1/(n²+1) < 1/n²

Por comparación directa, como ∑1/n² converge,
∑ 1/(n²+1) CONVERGE

CONVERGE por comparación con ∑1/n²

Ejercicio 2

Determinar convergencia de ∑ (3n²+1)/(5n³-2n)

Comparación límite

// El comportamiento dominante es n²/n³ = 1/n → comparar con ∑1/n
lim [aₙ / (1/n)] = lim n·(3n²+1)/(5n³-2n)
                 = lim (3n³+n)/(5n³-2n)
                 = 3/5 > 0

// ∑1/n diverge (serie armónica)
Por comparación límite: ∑ (3n²+1)/(5n³-2n) DIVERGE

DIVERGE (se comporta como la serie armónica)

Ejercicio 3 — Criterio de la raíz

∑ (2n/(3n+1))ⁿ

Criterio de Cauchy

lim |aₙ|^(1/n) = lim [(2n/(3n+1))ⁿ]^(1/n)
               = lim 2n/(3n+1)
               = 2/3 < 1

CONVERGE por criterio de la raíz

CONVERGE (criterio de la raíz: 2/3 < 1)

∑ ¿Dominaste sucesiones y series?

Las series numéricas son la puerta a las series de potencias y funciones. ¡Practica y deja tus dudas!

Series numéricasConvergenciaCriterio razónSerie geométrica

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