Reglas Básicas de Derivación (Potencia, Suma, Producto, Cociente)

En el artículo anterior viste qué es la derivada y cómo se calcula usando su definición formal con límites. El problema es que hacer ese proceso cada vez sería muy lento. Por suerte, existen reglas que permiten derivar directamente, sin pasar por el límite cada vez. En este artículo aprenderás las cuatro reglas básicas de derivación: potencia, suma/resta, producto y cociente, con ejemplos resueltos paso a paso.

¿Qué aprenderás en este artículo?

• La regla de la potencia y cómo aplicarla.
• La regla de la suma y resta de funciones.
• La regla del producto (para derivar funciones multiplicadas).
• La regla del cociente (para derivar funciones divididas).
• Tres ejemplos resueltos combinando estas reglas, de básico a avanzado.
• Ejercicios propuestos con soluciones para practicar.

Regla de la potencia

Es la regla más usada. Para derivar \(x\) elevado a cualquier exponente \(n\):

\[ \frac{d}{dx}\left[x^n\right] = n \cdot x^{n-1} \]

Es decir: "baja" el exponente como coeficiente y le restas 1 al exponente original. Además, se cumplen estas dos propiedades relacionadas:

• Derivada de una constante: \(\dfrac{d}{dx}[c] = 0\) (una constante no cambia, así que su razón de cambio es cero).
• Múltiplo constante: \(\dfrac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)\) (una constante que multiplica "sale" de la derivada tal cual).

Regla de la suma y resta

Si tienes una función formada por varios términos sumados o restados, derivas cada término por separado:

\[ \frac{d}{dx}\left[f(x) \pm g(x)\right] = f'(x) \pm g'(x) \]

Esto es lo que permite derivar polinomios completos término a término, como verás en el Ejemplo 1.

Regla del producto

Cuando dos funciones están multiplicadas, no se puede derivar cada una por separado y multiplicar los resultados. La regla correcta es:

\[ \frac{d}{dx}\left[f(x) \cdot g(x)\right] = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x) \]

Cómo recordarla: "derivada del primero por el segundo, más el primero por la derivada del segundo".

Regla del cociente

Cuando una función está dividida entre otra, se usa la siguiente fórmula:

\[ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)\,g(x) - f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^2} \]

Explicación de cada variable (producto y cociente)

• \(f(x)\): la primera función (numerador, en el caso del cociente).
• \(g(x)\): la segunda función (denominador, en el caso del cociente).
• \(f'(x), g'(x)\): las derivadas de cada función por separado.
• \([g(x)]^2\): el denominador de la regla del cociente siempre es el denominador original elevado al cuadrado.

Importante: en la regla del cociente, el orden de la resta en el numerador importa (no es lo mismo \(f'g-fg'\) que \(fg'-f'g\)); en la regla del producto, el orden de la suma no importa.

Ejemplo 1 (nivel básico): reglas de potencia y suma

Deriva y evalúa en \(x=1\):

\[ f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 7 \]

Paso 1. Derivamos cada término usando la regla de la potencia:

\[ \frac{d}{dx}[4x^3] = 12x^2 \qquad \frac{d}{dx}[-2x^2] = -4x \qquad \frac{d}{dx}[5x] = 5 \qquad \frac{d}{dx}[-7] = 0 \]

Paso 2. Sumamos todos los términos derivados (regla de la suma):

\[ f'(x) = 12x^2 - 4x + 5 \]

Paso 3. Evaluamos en \(x=1\):

\[ 12(1)^2 - 4(1) + 5 = 12-4+5 = 13 \]

Resultado: \(f'(x) = 12x^2-4x+5\), y \(f'(1) = 13\).

Ejemplo 2 (nivel intermedio): regla del producto

Deriva y evalúa en \(x=2\):

\[ f(x) = (2x+1)(x^2-3) \]

Paso 1. Identificamos las dos funciones: \(u(x)=2x+1\) y \(v(x)=x^2-3\), con \(u'(x)=2\) y \(v'(x)=2x\).

Paso 2. Aplicamos la regla del producto: \(f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\):

\[ f'(x) = 2(x^2-3) + (2x+1)(2x) \]

Paso 3. Expandimos cada término:

\[ 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x \]

Paso 4. Agrupamos términos semejantes:

\[ f'(x) = 6x^2 + 2x - 6 \]

Paso 5. Evaluamos en \(x=2\):

\[ 6(4) + 2(2) - 6 = 24+4-6 = 22 \]

Resultado: \(f'(x) = 6x^2+2x-6\), y \(f'(2) = 22\).

Ejemplo 3 (nivel avanzado): regla del cociente

Deriva y evalúa en \(x=0\):

\[ f(x) = \frac{3x^2-1}{x+2} \]

Paso 1. Identificamos: \(u(x)=3x^2-1\) y \(v(x)=x+2\), con \(u'(x)=6x\) y \(v'(x)=1\).

Paso 2. Aplicamos la regla del cociente: \(f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\):

\[ f'(x) = \frac{6x(x+2) - (3x^2-1)(1)}{(x+2)^2} \]

Paso 3. Expandimos el numerador:

\[ 6x^2+12x - 3x^2+1 = 3x^2+12x+1 \]

Paso 4. Escribimos la derivada simplificada:

\[ f'(x) = \frac{3x^2+12x+1}{(x+2)^2} \]

Paso 5. Evaluamos en \(x=0\):

\[ \frac{3(0)+12(0)+1}{(0+2)^2} = \frac{1}{4} \]

Resultado: \(f'(x) = \dfrac{3x^2+12x+1}{(x+2)^2}\), y \(f'(0) = \dfrac{1}{4}\).

Errores comunes al aplicar estas reglas

• Multiplicar las derivadas por separado. \(\dfrac{d}{dx}[f\cdot g] \neq f'(x)\cdot g'(x)\); hay que usar la regla del producto completa.
• Dividir las derivadas por separado. \(\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{f}{g}\right] \neq \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\); hay que usar la regla del cociente completa.
• Invertir el orden de la resta en la regla del cociente. Siempre es "derivada del numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador" (\(f'g - fg'\), no al revés).
• Olvidar elevar al cuadrado el denominador. En la regla del cociente, el denominador de la respuesta es \([g(x)]^2\), no \(g(x)\).
• Errores al expandir productos. Antes de simplificar, revisa cada término del producto expandido; es la fuente más común de errores de signo.

Resumen de las ideas principales

• Regla de la potencia: \(\dfrac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}\).
• Regla de la suma/resta: se deriva cada término por separado.
• Regla del producto: \(f'g + fg'\) — nunca se multiplican las derivadas directamente.
• Regla del cociente: \(\dfrac{f'g - fg'}{g^2}\) — el orden de la resta y el cuadrado del denominador son claves.

Ejercicios propuestos

1. Deriva \(f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 2\) y evalúa \(f'(1)\).
2. Deriva \(f(x) = x^3(2x-1)\) usando la regla del producto y evalúa \(f'(1)\).
3. Deriva \(f(x) = \dfrac{x-1}{x+3}\) usando la regla del cociente y evalúa \(f'(0)\).
4. Deriva \(f(x) = 7x^5 - 4x^3 + x - 9\) y evalúa \(f'(-1)\).
5. Deriva \(f(x) = (x^2+1)(3x-2)\) usando la regla del producto y evalúa \(f'(1)\).

Soluciones

1. \(f'(x) = 20x^3-6x\), entonces \(f'(1) = 20-6 = 14\)
2. \(f'(x) = 3x^2(2x-1)+x^3(2) = 8x^3-3x^2\), entonces \(f'(1) = 8-3 = 5\)
3. \(f'(x) = \dfrac{(x+3)-(x-1)}{(x+3)^2} = \dfrac{4}{(x+3)^2}\), entonces \(f'(0) = \dfrac{4}{9}\)
4. \(f'(x) = 35x^4-12x^2+1\), entonces \(f'(-1) = 35-12+1 = 24\)
5. \(f'(x) = 2x(3x-2)+(x^2+1)(3) = 9x^2-4x+3\), entonces \(f'(1) = 9-4+3 = 8\)

Preguntas frecuentes

¿Puedo usar la regla del cociente para dividir entre una constante?

Sí, pero es más rápido tratarlo como un múltiplo constante. Por ejemplo, \(\dfrac{x^2}{5}\) es lo mismo que \(\dfrac{1}{5}x^2\), así que su derivada es simplemente \(\dfrac{2x}{5}\), sin necesidad de aplicar la regla del cociente completa.

¿Qué pasa si tengo tres funciones multiplicadas?

Se aplica la regla del producto de forma extendida, tratando dos de las funciones como un solo bloque primero, o derivando de a pares: \((fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'\).

¿Cuándo debo usar la regla de la cadena en lugar de estas reglas?

Estas cuatro reglas sirven para combinaciones de funciones "simples" (sumas, productos, cocientes). Cuando tienes una función dentro de otra, como \((3x+1)^5\) o \(\sqrt{x^2+1}\), necesitas además la regla de la cadena, que veremos en el próximo artículo.

Enlaces internos recomendados

• ¿Qué es la derivada? Definición y significado geométrico